高维全局最小方差投资组合的估计

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英文标题：
《Estimation of the Global Minimum Variance Portfolio in High Dimensions》
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作者：
Taras Bodnar, Nestor Parolya and Wolfgang Schmid
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We estimate the global minimum variance (GMV) portfolio in the high-dimensional case using results from random matrix theory. This approach leads to a shrinkage-type estimator which is distribution-free and it is optimal in the sense of minimizing the out-of-sample variance. Its asymptotic properties are investigated assuming that the number of assets $p$ depends on the sample size $n$ such that $\\frac{p}{n}\\rightarrow c\\in (0,+\\infty)$ as $n$ tends to infinity. The results are obtained under weak assumptions imposed on the distribution of the asset returns, namely it is only required the fourth moments existence. Furthermore, we make no assumption on the upper bound of the spectrum of the covariance matrix. As a result, the theoretical findings are also valid if the dependencies between the asset returns are described by a factor model which appears to be very popular in financial literature nowadays. This is also well-documented in a numerical study where the small- and large-sample behavior of the derived estimator are compared with existing estimators of the GMV portfolio. The resulting estimator shows significant improvements and it turns out to be robust to the deviations from normality.
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中文摘要：
我们利用随机矩阵理论的结果估计了高维情况下的全局最小方差（GMV）投资组合。这种方法得到了一个无分布的收缩型估计量，它在最小化样本外方差的意义上是最优的。假设资产数量$p$取决于样本量$n$，使得$frac{p}{n}\\ rightarrow c \\ in（0，+\\infty）$随着$n$趋于无穷大，则研究其渐近性质。结果是在对资产收益率分布的弱假设下得到的，即只需要存在四阶矩。此外，我们对协方差矩阵的谱的上界没有做任何假设。因此，如果资产回报率之间的依赖关系是由一个因子模型描述的，那么理论结果也是有效的，这一模型在当今金融文献中非常流行。这在一项数值研究中也得到了很好的证明，在该研究中，导出估计量的小样本和大样本行为与GMV投资组合的现有估计量进行了比较。结果表明，估计量有了显著的改进，并且对正态性偏差具有鲁棒性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Estimation_of_the_Global_Minimum_Variance_Portfolio_in_High_Dimensions.pdf (1.47 MB)

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关键词：投资组合 Quantitative distribution Multivariate Optimization

因此，GMV投资组合的估计与资产收益协方差矩阵的估计密切相关。传统估值器是估计GMV投资组合的一种常用方法（1.2）。这种传统的估计是通过将（1.2）中的协方差矩阵∑nb替换为其样本对应的Sn来构造的。Okhrin和Schmid（2006）推导了传统估计量的分布，并在资产收益服从多元正态分布的假设下研究了其性质，而Kempf和Memmel（2006）分析了其条件分布性质。此外，Bodnar和Schmid（2009）得出了样本GMV投资组合主要特征的分布，即其方差和预期收益。如果资产p的数量是固定的，且其显著小于样本中观察值n的数量，则传统估计值是一个不错的选择。这种情况经常被用于统计学，被称为标准渐近线（见Le Cam and Yang（2000））。在这种情况下，传统估计量是GMV投资组合的一致估计量，并且是渐近正态分布的（Okhrinand Schmid（2006））。因此，对于较小的固定尺寸p∈ {5，10，15}我们可以使用sampleestimator，但如果投资组合中的资产数量非常大，比如p∈ {100，500，1000}，与n相当。这里我们处于资产数量p和样本量n趋于一致的情况。当NP和n的大小相当时，这种双重渐近性有一种解释。更准确地说，当p/n趋于浓度比c>0时。这种类型的渐近被称为高维渐近或“Kolmogorov”渐近（见Baand Silverstein（2010））。

在高维渐近条件下，传统的估计量表现出很强的不可预测性，且远不是最优估计。它往往低估了风险（见ElKaroui（2010）、Bai和Shi（2011））。一般来说，集中度c的值越大，传统估值器就越差。将因子结构的假设强加于资产回报率，Bai（2003）、Fan et al.（2008）、Fan et al.（2012）、Fan et al.（2012）、Fan et al.（2003）、Fan et al.（2008）、Fan et al.（2012）、Fan et al.（2012）以有效的方式解决了这个问题。（2013）等。然而，如果因子结构不存在，那么高维度的问题仍然存在。在这种情况下，提出了GMV投资组合权重的进一步估计。DeMiguel等人（2009年）建议引入一些额外的投资组合约束，以避免维度诅咒。另一方面，可以使用有偏差的收缩估计量，但可以通过最小化其均方误差显著降低投资组合的风险。广义收缩估计量是传统估计量和已知目标的凸组合（对于GMV投资组合，它可以是朴素的等权投资组合）。他们首先被斯坦（1956）考虑。最近，多位作者表明，投资组合权重的收缩估计量确实会带来更好的结果（见Golosnoy和Okhrin（2007）、Frahm和Memmel（2010））。特别是，Golosnoy和Okhrin（2007）通过收缩投资组合权重本身而非整个样本协方差矩阵，考虑了多元收缩估计量。Frahm和Memmel（2010）也使用了同样的想法，他们为GMV组合构建了一个可行的收缩估计量，该组合在传统组合中占主导地位。

在此，将导出的收缩估计的性能和收敛速度与GMV投资组合的现有估计进行了比较。第4节给出了我们的实证研究结果，我们将建议的估计数以及现有的估计数应用于包括标准普尔500指数（Standard&Poor\'S 500）中returnson资产在内的真实数据。第5节总结了所有获得的结果。冗长的证明移至附录（第6节）。2 GMV投资组合的最优收缩估计t Yn=（y，y，…，Yn）是由p上的n个收益向量组成的p×n数据矩阵≡ p（n）资产。设E（yi）=unand Cov（yi）=∑Nfi∈ 1.n、 我们假设p/n→ c∈ (0, +∞) asn公司→ ∞. 这种极限行为也被称为“大维渐近”或“theKolmogorov渐近”。在这种情况下，传统估值器的表现很差甚至很差，往往会高估/低估资产回报的未知参数，即平均向量和协方差矩阵。在本文中，假设存在一个p×n随机矩阵xn，该矩阵由独立且同分布（i.i.d.）的实随机变量组成，其平均值和单位方差均为零，如thatYn=un+∑nXn。（2.1）值得注意的是，观测矩阵yn由相关行组成，尽管其列是独立的。

对于给定的目标投资组合BN，其最小化样本外风险L=| |∑n（^wGSE（αn）- wGMV）| |=（^wGSE（αn）- wGMV）∑n（^wGSE（αn）- wGMV），（2.5）（参见Frahm和Memmel（2010），Rubio等人（2012））。损失函数（2.5）可以重写为l=^wGSE（αn）∑n^wGSE（αn）- σGMV，（2.6），其中σGMV=∑-1nis是GMV投资组合的总体方差，^wGSE（αn）∑n^wGSE（αn）被称为权重为^wGSE（αn）的投资组合的样本外方差。使用（2.4），我们想要解决以下优化问题minαnL=minαnαnσS+2αn（1- αn）S-1nS-1n∑nbn+（1- αn）bn∑nbn- σGMV，（2.7），其中σS=S-1n∑nS-1n（1S-1n1）（2.8）是GMV投资组合权重的传统估计量的样本外方差。取L相对于α的导数，并将其设为零，我们得到Lαn=αnσS+（1- 2αn）S-1n∑nbnS-1n- (1 - αn）bn∑nbn=0。（2.9）从上一个方程式中，很容易找到最佳收缩强度α*ngiven byα*n=bn∑nbn-S-1n∑nbnS-1nσS- 2秒-1n∑nbnS-1n+bn∑nbn=bn公司-S-1nS-1n∑nbnbn公司-S-1nS-1n∑nbn公司-S-1nS-1n. （2.10）以确保α*nis（2.7）的最小值，我们计算L的二阶导数，它必须是正的。它认为Lαn=σS-21秒-1n∑nbnS-1n+bn∑nbn=bn公司-S-1nS-1n∑nbn公司-S-1nS-1n> 0（2.11）几乎可以肯定。最后一个不等式总是正确的，因为矩阵∑的正不确定性和bn=S的事实-1nS-1N概率为零。在定理2.1中，我们证明了最佳收缩强度α*nis几乎肯定渐近等价于非随机量α*∈ [0，1]在大维渐近SPN下→ c∈(0, 1). 设σbn=bn∑nbnbe为目标投资组合的方差，letRbn=σbn- σGMVσGMVbe目标投资组合的相对损失bn。定理2.1。假设（A1）-（A2）。设0<Ml≤ σGMV≤ σbn≤ Mu<∞ 对于所有n，那么它保持α*不适用。s-→ α*=(1 - c） Rbc+（1- c） Rbforpn公司→ c∈ （0，1）为n→ ∞, （2.12）其中RBI是Rbn的限制。

此外，GMV投资组合的传统估计量的样本外方差σ具有以下渐近行为σSa。s-→1.- cσGMVforpn→ c∈ （0，1）为n→ ∞. （2.13）附录中给出了定理2.1的证明。定理2.1为我们提供了有关GMV投资组合最优收缩估计量的重要信息。特别是，定理2.1的应用立即导致α的一致估计*n、 σGMV和σs，见下文第2.3节。值得注意的是，假设0<Ml≤ σGMV≤ σbn≤ Mu<∞ 是金融市场的天然产物。它确保了GMV投资组合的总体方差有一个符合资本资产定价模型的下限，因为投资组合方差不能小于市场风险（参见Elton等人（2007年，第7章））。此外，目标投资组合σbn方差有界的假设也是可以接受的，因为它使得收缩到方差有限的投资组合是不明智的。最重要的是，即使协方差矩阵的最大特征值是无界的，这个条件也成立。如果资产回报率遵循因子模型，则会出现这种情况，这是当今金融文献中非常流行的方法（参见Fan et al.（2008），Fan et al.（2012））。值得指出的是，如果weassume而不是0<Ml，同样的结果也是正确的≤ σGMV≤ σbn≤ Mu<∞ 人口协方差矩阵的谱范数的有界性，即∑n的一致有界最大特征值。关于GMV投资组合的传统和最优收缩估计的性能问题的答案在推论2.1中给出。推论2.1。（a） 在定理2.1的假设下，我们得到了GMV投资组合的传统估计的相对损失=σS- σGMVσGMVa。s-→c1类- cforpn公司→ c∈ （0，1）为n→ ∞.

（2.14）（b）在定理2.1的假设下，我们得到了GMV组合组合最优收缩估计量的相对损失=^wTGSE∑n^wGSE- σGMVσGMVa。s-→ (α*)c1类- c+（1-α*)Rbforpn公司→ c∈ （0，1）为n→ ∞.（2.15）推论2.1是定理2.1的直接结果。此外，其第一部分将Frahm和Memmel（2010，定理7）的结果推广到资产收益的任意分布。使用推论2.1（a），我们可以将GMV投资组合的传统估值器的相对损失行为仅绘制为集中度c的函数，而最优收缩投资组合的相对损失还取决于目标投资组合的相对损失。此外，从推论2.1的两个部分我们得到了RGSEA。s-→ (α*)RS+（1- α*)Rbforpn公司→ c∈ （0，1）为n→ ∞,i、 例如，GMV投资组合的最优收缩估计的相对损失可以渐近地表示为传统估计的相对损失和目标投资组合的相对损失的线性组合。因为α*→ 0作为c→ 1.-和（α*)c1类- c=（1- c） cRb（c+（1- c） Rb）→ 0作为c→ 1.-,我们得到了RGSE→ Rb型≤亩-MlMlas c→ 1.-, 而传统估计值的相对损失往往是不确定的。图1显示了不同c值的GMVportfolio权重的传统和拟议oracle估计器的行为∈ (0, 1). 协方差矩阵∑nis取200×200维矩阵，其中20%的特征值等于3，40%等于1，40%等于0.5。特征向量V=（V，…，vp）的矩阵由Haar分布生成。选择目标投资组合作为等权投资组合，即bn=1/p1。在图中，我们观察到，GMV投资组合的传统估值器的渐近相对损失在一点上有一个奇异点。

传统估值器的损失相对较小，高达c=0.2，但此后，作为p/n→ 1、它以夸张的方式上升到单位。与传统的GMV投资组合权重估计相比，建议的最优收缩估计具有一个常数渐近相对值，它总是小于0.5。这一结果与推论2.1讨论的理论结果一致。图1和图2显示了最佳收缩强度α的渐近行为*作为浓度比c的函数∈ (0, 1). 目标投资组合bn和协方差矩阵∑与图1中的相同。在间隔c中∈ （0，1）最佳收缩强度α*是浓度比c的非线性递减（以凸的方式）函数。我们观察到，最佳α*当c接近1时趋于零，因此，在极限情况下，唯一的最佳选择将是targetportfolio bn。2.2 Oracle估计器。情形c>1在情形c>1中，样本协方差矩阵SNI是奇异的，其逆不再存在。因此，我们首先必须找到一个合理的替代品-1n。对于GMVportfolio权重的oracle估计，我们使用以下样本协方差矩阵SnS的广义逆*n=∑-1/2n（XnXn）+∑-1/2n，（2.16）进一步在纸上，c→ 1.-和c→ 1+分别表示点1的左右极限。如果V在正交矩阵上有一个Haar测度，那么对于任何单位向量x∈Rp，Vx在单位球面上有均匀分布Sp={x∈Rp||x | |=1}。其中+表示摩尔-彭罗斯逆。可以显示S*nis广义逆满足S*NSN*n=S*nand SnS*nSn=序号。显然，当c<1时，广义逆S*N包含通常的逆S-1n。此外，如果∑nis与单位矩阵成比例，则*n包含为Sn计算的摩尔-彭罗斯逆S+n。

还必须注意的是*n在实践中无法确定，因为它取决于未知矩阵∑n。在本节中，它仅用于确定GMV投资组合权重的oracle估计器，而Bonafide估计器在第2.3节中构造。基于S*nin（2.16），在c>1的情况下，甲骨文对GMV投资组合的传统估计是由^w给出的*GMV=S*nS系列*n、 （2.17）接下来，我们确定oracle最优收缩估计量，用于表示为^w的GMV投资组合权重*GSE=α+nS*nS系列*n+（1- α+n）BN，bn1=1。（2.18）与第2.1节类似，我们通过α+n=bn∑nbn推导出最佳收缩强度α+ngiven-S*n∑nbnS*nσS*- 2秒*n∑nbnS*n+bn∑nbn=b-S*nS系列*n∑nbb-S*nS系列*n∑nb-S*nS系列*n, （2.19）其中σS*= 1秒*n∑nS*n1/（1S）*n1）是GMV投资组合的传统估计量的样本外方差。在定理2.2中，我们给出了最优α+nC>1的渐近性质。定理2.2。假设（A1）-（A2）。设0<Ml≤ σGMV≤ σbn≤ Mu<∞ 对于所有的n，那么它保持α+na。s-→ α+=（c- 1） Rb（c- 1） +c+（c- 1） Rbforpn公司→ c∈ (1, +∞) 作为n→ ∞, （2.20）其中RBI是Rbn的限制。此外，我们得到了oracle样本外方差σS*GMV投资组合σS的传统估计量（2.17）的*a、 s。-→复写的副本- 1σGMVforpn→ c∈ (1, +∞) 作为n→ ∞. （2.21）附录中给出了定理2.2的证明。推论2.2描述了GMV投资组合的传统oracle估计以及oracle最优收缩估计的相对损失的渐近行为。推论2.2。（a） 在定理2.2的假设下，我们得到了GMV投资组合oracletraditional估计量的相对损失*S=σS*- σGMVσGMVa。s-→c- c+1c- 1窗体→ c∈ (1, +∞) 作为n→ ∞. （2.22）注意*nis不等于Moore-Penrose逆，因为它不满足条件*nSn）=S*nSnand（SnS*n） =SnS*n

然而，在第2.3节中，在构建Bonafide估值器的地方，我们使用S的Sninstead的Moore-PenroseReverse*以获得有价值的近似值。（b） 在定理2.2的假设下，我们得到了GMV投资组合的oracle最优收缩估计的相对损失*GSE=（^w*GSE）T∑n^w*GSE公司- σGMVσGMVa。s-→ （α+）R*S+（1-α+-Rbforpn→ c∈ （0，1）为n→ ∞.（2.23）与c<1的情况类似，GMVportfolio的最优收缩估计的相对损失是传统估计的相对损失和目标投资组合的相对损失的线性组合。此外，如果c→ 1+，传统估计值的相对损失趋于确定，而对于收缩估计值的相对损失，我们得到*GSE公司→（c）- 1） （c）- c+1）Rb（（c- 1） +c+（c- 1） Rb）+（1- α++Rb=Rbas c→ 1+，从上方以byMu为界-MlMl，即它是有限的。图3显示了在c>1的情况下，对于GMV投资组合，oracle传统估计量和proposedoracle最优收缩估计量的渐近性能。在平均损失始终小于1的情况下，应用oracle最优收缩估计器时会出现相当大的改进。相比之下，oracle传统估值器的平均损失值总是更大，在c=2左右，最小值约为4。图3和图4显示了在c>1的情况下，最佳收缩强度α+的渐近行为，这不再是浓度比c的单调函数，如图2所示。最佳收缩强度达到最大值，接近c=2。此外，即使c值较大，α+仍然为正，即对于c，oracle最优收缩估计收敛到BN→ +∞速度比c慢得多→ 1.-. 另一方面，对于c，它很快收敛到BN→ 1+.