高维全局最小方差投资组合的估计

传统估计在所有c和p上都具有最坏的行为。3.2谱无界的总体协方差矩阵在这一小节中，我们假设当p→ ∞. 因此，这里考虑∑nis的以下结构，即1/9的Igenvalue等于2，4/9等于5，（4/9p- 1） 等于10，最后一个特征值等于p。请注意，此结构对应于在资产回报上引入因子结构的情况。因子模型可以显著减少维度数量，从而使估计量不再受到“维度诅咒”的影响（参见Fan等人（2013））。图11至14显示了在协方差矩阵具有无界谱的情况下，本文考虑的估计器的行为。值得注意的是，结果与有界谱协方差矩阵∑nw的情况下得到的结果差别不大。唯一的区别是估计值的方差稍大。另一方面，BonanceBehavior以及BonanceBehavior最优收缩估计量对其Oracle的收敛速度不受总体协方差矩阵最大特征值的影响。这意味着，如果资产收益遵循因子模型，则建议的估计值仍然适用。更重要的是，在c>1的情况下，它也不会失去其效率。最后，我们注意到，出于兴趣，我们还模拟了有界和无界光谱的3自由度t分布。这种变化只影响收敛速度，而不影响优势行为。在我们的理论框架中，我们要求存在第四阶矩，但模拟研究表明，这一假设可以放宽，也可以通过假设来放宽。

因此，所提出的最佳收缩程序确保了许多重要实际情况下的效率，因此可以应用于许多实际情况。尽管如此，仍然需要进行经验回测，以便在真实数据集上检查GMV投资组合权重的衍生估计量的行为。下一节将完成此操作。4实证研究在本节中，我们将GMV投资组合（2.29）的拟议最优收缩估计值应用于真实数据，该数据包括2013年4月22日至2014年3月19日期间标准普尔500指数（Standard&Poor\'s500）所列417项资产的日收益率。它对应于T=230个交易日的水平线。标准普尔500指数以500家在纳斯达克上市的大型公司的市值为基础。在这项实证研究中，我们比较了（2.29）给出的GMV投资组合权重的导出最优收缩估计量与Frahm和Memmel（2010）提出的传统估计量和主导估计量的性能。该比较基于与DeMiguel等人（2009）提出的滚动窗口方法相似的程序。特别是，我们从所有417个投资组合中随机选取一个维度为p=54的投资组合，并估计长度n<T的给定激励窗口的投资组合权重。我们在下一步中重复这个滚动窗口过程，包括第二天的数据，并删除最后一天的数据，直到数据集结束。选择估计窗口n，使得浓度比c=p/n位于集合{0.5，0.9，1.5，2}中。为了比较估计量的性能，我们考虑了样本外方差和样本外夏普比。

设^wt为GMV投资组合的估值器，该估值器基于时间t上一次观察的窗口，并设rt+1为下一个时间段t+1的资产回报向量。然后，通过^σout=T计算样本外方差和样本外夏普比- n- 1吨-1Xt=n（^wtrt+1- ^ut）和CSR=^ut^σ- nT公司-1Xt=n^wtrt+1。（4.1）为了衡量统计显著性，我们随机抽取1000个不同的投资组合，并计算其样本外方差的e.c.d.函数和相应的样本外夏普比率。最佳策略的选择类似于随机优势原则，即选择e.c.d.f.随机支配其他策略的策略。然而，在样本外方差和样本外夏普比率的情况下，优势是不同的。对于样本外方差，最佳策略的e.c.d.f.应高于其他竞争对手的e.c.d.函数，即样本外方差值越大，概率越小。相比之下，基于样本外夏普比率的标准更倾向于whosee策略。c、 d.f.位于其他e.c.d.功能的下方。在这种情况下，使用相应估计量构建的GMV投资组合将具有最高的样本外夏普比率。图15和16显示了GMV投资组合三个估值器的样本外方差和样本外夏普比率的e.c.d.函数，即最优收缩估值器、传统估值器和Frahm和Memmel（2010）提出的主导估值器。因为，支配估计量只能在c<1的情况下构造，所以我们在c=1.5和c=2时放弃它。在所考虑的所有情况下，我们观察到最优收缩估计具有很好的性能。

对于这两个考虑的标准，它的性能超过了其他估计策略。在方差失控的情况下，相应的e.c.d.f.高于其他e.c.d.函数，而在样本外夏普比率的情况下，它低于其他竞争对手的e.c.d.函数。其次，我们对Frahm和Memmel（2010）的主导估计量进行了排名，这一排名始终优于传统估计量。全球最小方差投资组合在投资理论和实践中发挥着重要作用。该投资组合被广泛用作静态和动态最优投资组合问题的投资机会。虽然文献中有明确的GMV组合权重结构分析表达式，但GMV组合的估计似乎是一个非常具有挑战性的问题，尤其是对于高维数据。在本文中，我们通过推导一个可行且稳健的GMV投资组合权重估计量来解决这个问题，该估计量是在资产收益分布未预先规定且未施加市场结构的情况下得出的。我们为GMV组合构造了一个最优收缩估计量，它在最小化样本外方差的意义上是最优的。得到了收缩强度的解析表达式，它似乎是数据和资产收益分布参数的复杂函数。我们通过在高维渐近条件下确定收缩强度的无症状等效量来处理后一个问题。我们通过应用随机矩阵理论的最新结果，一致地估计该渐近等效函数。这是在对资产收益分配施加的非常弱的假设下实现的。也就是说，我们只要求存在四阶矩，而没有强加明确的分布假设。

此外，如果总体协方差矩阵的谱是有界或无界的，我们的发现在c<1和c>1两种情况下仍然有效。因此，建议的方法可以应用于厚尾分布资产收益率以及资产收益率，其中动态可以通过因子模型建模，这是金融和计量经济学文献中非常流行的方法。最后，利用模拟和真实数据，我们将GMV投资组合的最优收缩估计与现有的最优收缩估计进行了比较。理论发现以及蒙特卡罗模拟和实证研究的结果表明，当c>0.6时，GMV组合权重的建议估计量支配现有估计量。附录中给出了定理的证明。首先，我们指出，出于我们的目的，sn可以很好地近似为n=n∑nXn我-nXn∑n≈n∑nXnXn∑n，因为矩阵xn∑nXnXn∑nhas排名第一，因此，它不影响样本协方差矩阵频谱的渐近行为（见Bai和Silverstein（2010），定理A.44）。接下来，我们给出一个重要引理，它是Rubio和Mestre（2011）中定理1的特例。引理6.1。假设（A1）和（A2）。设一个非随机p×p维矩阵Θpposesss具有唯一有界的迹范数（奇异值之和），且设∑n=I。那么它认为tr公司Θp（序号- （拉链）-1.- （x（z）- z）-1tr（Θp）a、 s。-→ 0表示p/n-→ c∈ (0, +∞) 作为n→ ∞, （6.1）其中x（z）=1.- c+z+p（1- c+z）- 4z. （6.2）引理6.1的证明：定理1在Rubio和Mestre（2011）中的应用导致（6.1），其中x（z）是以下等式的唯一解1- x（z）x（z）=cx（z）- z、 （6.3）（6.3）的两个解由x1,2（z）给出=1.- c+z±p（1- c+z）- 4z. （6.4）为了确定两个解中哪一个是可行的，我们注意到x1,2（z）是具有正虚部的Stieltjes变换。

因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以取z=1+c+i2√c和getIm{x1,2（z）}=Im2+i2√c±i2√2c= Imn1+i√c（1±）√2） o=√c1 ±√, （6.5）仅当选择符号“+”时为正。因此，解由x（z）给出=1.- c+z+p（1- c+z）- 4z. （6.6）证明了引理6.1。Rubio和Mestre（2011）研究了泛函tr（Θ（Sn））的渐近性- zI）-1） 对于具有有限迹范数的确定性矩阵Θ。注意，Rubioand Mestre（2011）的定理1的结果在较弱的第四矩存在假设下也成立。该声明是通过使用Bai和Silverstein（2010）关于二次型的引理B.26获得的，我们引用该引理作为下面的引理6.2。引理6.2。[引理B.26，Bai和Silverstein（2010）]设A为p×p非随机矩阵，设X=（X，…，xp）为具有独立项的随机向量。假设E（xi）=0，E | xi |=1，E | xi | l≤ νl.那么，对于任何k≥ 1，E | XAX- tr（A）| k≤ Ck公司（νtr（AA））k+ν2ktr（AA）k, （6.7）其中，Ck是一个仅依赖于k的常数。为了在施加在力矩上的最弱阻尼下获得Rubio和Mestre（2011）定理1的陈述，在k的情况下，我们将Rubio和Mestre（2011）的引理2替换为引理6.2≥ 请注意，Rubio和Mestre（2011）的引理2适用于k>1，而引理6.2是一个更强大的结果，因为它也适用于k=1的情况。这就是Rubio和Mestre（2011）的引理3也适用于k的主要技巧≥ 1（而不是k>1）。Rubioand Mestre（2011）的引理4已经在存在4+ε矩的假设下得到了证明。最后一步是用k应用Rubio和Mestre（2011）的引理1、2和3≥ 最后，可以很容易地检查Rubio和Mestre（2011）定理1证明的进一步步骤是否在4+ε矩存在的情况下成立。

为了节省篇幅，我们将此断言的详细技术证明留给读者。定理2.1的证明：让我们回忆一下用α表示的最佳收缩强度*n=bn∑nbn-S-1n∑nbnS-1nS-1n∑nS-1n（1S-1n1）- 2秒-1n∑nbnS-1n+bn∑nbn。（6.8）它认为-1n1=limz→0+tr（序号- z∑n）-1.= 林茨→0+tr“nXnXn- zI公司-1Σ-n∑-n#（6.9）S-1n∑nbn=limz→0+tr（序号- z∑n）-1∑nbn= 林茨→0+tr“nXnXn- zI公司-1∑nbn∑-n#（6.10）秒-1n∑nS-1n1=ztr“nSn公司- z∑n-1#z=0=ztr“nXnXn- zI公司-1Σ-n∑-n个#z=0。（6.11）设ξn（z）=tr“nXnXn- zI公司-1Θξ，其中Θξ=∑-n∑-nandζn（z）=tr“nXnXn- zI公司-1Θζ，其中Θζ=∑nbn∑-n、 矩阵Θξ和Θζ都具有有界迹范数，因为kΘξktr=1∑-1n1≤ M-1landkΘζktr=q∑-1npbn∑nbn≤rMuMl。那么，对于所有z∈C+，我们从引理6.1 |ξn（z）得到-（x（z）-z）-1tr[ξ]|=|ξn（z）-（x（z）-z）-1Σ-1n1 | a.s。-→ 0表示p/n→ c>0为n→ ∞ （6.12）和|ζn（z）- （x（z）-z）-1tr[Θζ]|=ζn（z）- （x（z）- z）-1.a、 s。-→ 0表示p/n→ c>0为n→ ∞, （6.13）其中x（z）在（6.2）中给出。使用limz→0+（x（z）-z）-1= (1 -c）-1将（6.12）和（6.13）与（6.9）和（6.10）相结合，得出| 1-1n1- (1 - c）-1Σ-1n1 | a.s。-→ 0表示p/n→ c>0为n→ ∞ （6.14）和S-1n∑nbn- (1 - c）-1.a、 s。-→ 0表示p/n→ c>0为n→ ∞. （6.15）最后，使用等式zx（z）- zz=0=-x（z）- 1（x（z）- z）z=0=-1.-1+c-z√(1-c+z）-4z- 1（x（z）- z）z=0=（1- c） ，（6.16）我们得到ξn（0）-z（x（z）- z）-1.z=0tr[Θξ]= |ξn（z）- (1 - c）-3Σ-1n1 | a.s。-→ p/n为0（6.17）→ c>0为n→ ∞. 因此，| 1S-1n∑nS-1n1- (1 - c）-3Σ-1n1 | a.s。-→ 0表示p/n→ c>0为n→ ∞. （6.18）（6.14）和（6.18）的应用导致σSa。s-→(1 - c）-3Σ-1n（1- c）-2(1Σ-1n1）=（1- c）-p/n的1σgmvf→ c>0为n→ ∞,而另外使用（6.15）我们得到α*不适用。s-→ α*带α*=bn∑nbn-(1 - c）-1(1 - c）-1Σ-1n（1- c）-1σGMV- 2(1 - c）-1(1 - c）-1Σ-1n+bn∑nbn=（1- c） Rbc+（1- c） RBF零件号→ c>0为n→ ∞.

数量RBI是由于假设σbn而存在的RBN极限≤ μ和σGMV≥ 这两个等式完成了定理2.1的证明。定理2.2的证明：在c>1的情况下，最佳收缩强度由α+n=bn∑nbn给出-S*n∑nbnS*nS系列*n∑nS*n（1S*n1）- 2秒*n∑nbnS*n+bn∑nbn。（6.19）LetΘξ=∑-n∑-nandΘζ=∑nbn∑-n、 使用S的定义*ngiven in（2.16）和theequality（XnXn）+=Xn（XnXn）-2Xn，我们得到*n1=trhXnXn+Θξi=trhXnXnXn-2XnΘξi=ztrhXnXnXn- 吉恩-1XnΘξiz=0秒*n∑nbn=trhXnXn+Θζi=trhXnXnXn-2XnΘζi=ztrhXnXnXn- 吉恩-1XnΘζiz=0秒*n∑nS*n1=trXnXn+-2Θζ= trhXn公司XnXn-3XnΘξi=ztrhXnXnXn- 吉恩-1XnΘξiz=0。Woodbury公式的应用（矩阵反演引理，参见Horn和Johnson（1985））XnXnXn- 吉恩-1Xn=Ip+zXnXn- 拉链-1（6.20）条导线到*n1型=zztrh公司XnXn- 拉链-1Θξiz=0秒*n∑nbn=zztrh公司XnXn- 拉链-1Θζiz=0秒*n∑nS*n1型=zztrh公司XnXn- 拉链-1Θξiz=0。从定理2.1的证明可知，矩阵Θξ和Θζ都具有有界跟踪范数。然后引理6.1的应用导致*不适用。s-→zzx（z）- zz=0tr[Θξ]=zzx（z）- zz=0∑-1n1（6.21）秒*n∑nbna。s-→zzx（z）- zz=0tr[Θζ]=zzx（z）- zz=0（6.22）秒*n∑nS*不适用。s-→zzx（z）- zz=0tr[Θξ]=zzx（z）- zz=0∑-1n1（6.23）用于p/n→ c>1作为n→ ∞, 其中x（z）在（6.2）中给出。让我们用以下符号θ（z）=zx（z）- zandφ（z）=x（z）- zx（z）z.（6.24）那么θ（z）的一阶和二阶导数由θ（z）=θ（z）φ（z）和θ（z）=2θ（z）θ（z）φ（z）+θ（z）φ（z）给出。

（6.25）使用L\'Hopital规则，我们得到θ（0）=limz→0+θ（z）=limz→0+zx（z）- z=直线度→0+（x（z）- 1)=1.-1+c | 1- c类|- 1= -c- 1c，（6.26）φ（0）=limz→0+φ（z）=limz→0+x（z）- zx（z）z=-林茨→0+x（z）=-林茨→0+-2c（（1- c+z）- 4z）3/2=c（c- 1） ，（6.27）林茨→0+φ（z）=- 林茨→0+2（x（z）- zx（z））+zx（z）z=- 林茨→0+2φ（z）+x（z）z=- 林茨→0+（2φ（z）+x（z）），表示φ（0）=limz→0+φ（z）=-林茨→0+x（z））==-林茨→0+6c（z- c- 1)((1 - c+z）- 4z）5/2=2c（c+1）（c- 1). （6.28）结合（6.25）、（6.26）、（6.27）和（6.28），我们得到θ（0）=limz→0+θ（0）=θ（0）φ（0）=c（c- 1） ，（6.29）θ（0）=limz→0+θ（z）=θ（0）φ（0）+θ（0）φ（0）=（c- 1). （6.30）最后，将最后两个等式与（6.21）、（6.22）和（6.23）一起应用，得出α+na。s-→ α+forpn→ c∈ (1, +∞) 作为n→ ∞,其中α+=bn∑nbn-θ(0)θ(0)1Σ-1nθ（0）1∑-1n（θ（0）1∑-1n1）- 2θ(0)θ(0)1Σ-1n+bn∑nbn=（c- 1） Rb（c- 1） +c+（c- 1） Rbwith Rbn→ RbandσS*a、 s。-→θ(0)1Σ-1n（θ（0）1∑-1n1）=立方厘米- 1σGMVforpn→ c∈ (1, +∞) 作为n→ ∞. （6.31）这就完成了定理2.2的证明。定理2.3的证明。首先，我们注意到，量1S的渐近分布-1nhas已在定理2.1中推导出来。从（6.14）我们得到1∑的一致估计-1nis给定比亚迪∑-1n1=（1- 零件号）1S-1n1表示c<1，（6.32）d∑-1n1=零件号（零件号- 1） 1秒*n1表示c>1。（6.33）为了完成定理2.3的证明，我们需要Rubio和Mestre（2011）引理6.3的以下引理。设{ξ，…，ξn}是一个具有零均值和单位方差的i.i.d.实随机向量序列，对于某些ε>0，具有一致有界的4+ε矩，设Cn是具有有界迹范数的非随机矩阵。那么它认为nnXi=1ξiCnξi- tr（中国）a、 s。-→ 0表示p/n-→ c∈ (0, +∞) 作为n→ ∞. （6.34）接下来，我们按照以下方式重写BNSNBN=nnXi=1xi∑nbnbn∑nxi=nnXi=1xiRnxi（6.35），其中xi是矩阵Xn的第i列。

对于引理6.3的应用，我们必须证明矩阵Rn在单位上有一个有界迹范数。它认为| | Rn | | tr=bn∑nbn≤ Mu（6.36），因此，矩阵RN的迹范数的有界性直接来自于假设BN∑nbn≤ 亩。引理6.3的应用导致bnSnbn- bn∑nbna、 s。-→ 0表示p/n-→ c∈ （0，1）为n→ ∞, （6.37）与（6.32）一起暗示了定理2.3的陈述。参考文献【1】Bai，J.（2003），《大维度因素模型的推理理论》，计量经济学71135-171。[2] Bai J.和S.Shi（2011），《估计高维协方差矩阵及其应用》，《经济和金融年鉴》12-2199-215。[3] Bai Z.D.和J.W.Silverstein（2010），《大维随机矩阵的谱分析》，斯普林格：纽约；多德雷赫特；海德堡；伦敦[4] Bodnar，T.和W.Schmid（2008），《非光学模型中全球最小方差投资组合的权重测试》，Metrika 67127-143。[5] Bodnar，T.和W.Schmid（2009），《样本效率前沿的计量经济学分析》，《欧洲金融杂志》15，317-335。[6] Bodnar，T.、Gupta A.K.和N.Parolya（2014），关于大维协方差矩阵的最优线性收缩估计的强收敛性，多元分析杂志132215-228。[7] Brandt，M.（2010），《投资组合选择问题》，载于：Y.Ait-Sahalia和L.P.Hansen（编辑），《金融计量经济学手册》，269-330。[8] DeMiguel，V.、Garlappi，L.、Nogales，F.J.和Uppal，R.（2009），《投资组合优化的一般方法：通过约束投资组合规范提高绩效》，管理科学55718-812。[9] El Karoui，N.（2010年）。Markowitz问题和其他具有线性约束的二次规划中的高维效应：风险低估。《统计年鉴》383487-3566。[10] Elton，E.J.、Gruber，M.J.、Brown，S.J.和Goetzmann，W.N。