规范化投资组合风险分析：贝叶斯方法

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英文标题：
《Regularizing Portfolio Risk Analysis: A Bayesian Approach》
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作者：
Sourish Das, Aritra Halder and Dipak K. Dey
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  It is important for a portfolio manager to estimate and analyze recent portfolio volatility to keep the portfolio\'s risk within limit. Though the number of financial instruments in the portfolio can be very large, sometimes more than thousands, daily returns considered for analysis are only for a month or even less. In this case rank of portfolio covariance matrix is less than full, hence solution is not unique. It is typically known as the ``ill-posed\" problem. In this paper we discuss a Bayesian approach to regularize the problem. One of the additional advantages of this approach is to analyze the source of risk by estimating the probability of positive `conditional contribution to total risk\' (CCTR). Each source\'s CCTR would sum up to the portfolio\'s total volatility risk. Existing methods only estimate CCTR of a source, and does not estimate the probability of CCTR to be significantly greater (or less) than zero. This paper presents Bayesian methodology to do so. We use a parallelizable and easy to use Monte Carlo (MC) approach to achieve our objective. Estimation of various risk measures, such as Value at Risk and Expected Shortfall, becomes a by-product of this Monte-Carlo approach.
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中文摘要：
投资组合经理评估和分析最近的投资组合波动率，以将投资组合的风险控制在有限的范围内，这一点很重要。虽然投资组合中的金融工具数量可能非常多，有时超过数千种，但考虑用于分析的每日回报率仅为一个月甚至更少。在这种情况下，投资组合协方差矩阵的秩小于全秩，因此解不是唯一的。这通常被称为“不适定”问题。在本文中，我们讨论了一种规范化问题的贝叶斯方法。这种方法的另一个优点是通过估计“对总风险的条件贡献”（CCTR）的概率来分析风险源. 每个来源的CCTR总计为投资组合的总波动风险。现有方法仅估计源的CCTR，未估计CCTR显著大于（或小于）零的概率。本文介绍了贝叶斯方法。我们使用一种可并行化且易于使用的蒙特卡罗（MC）方法来实现我们的目标。各种风险度量的估计，如风险价值和预期缺口，成为这种蒙特卡罗方法的副产品。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：投资组合风险 风险分析 投资组合 贝叶斯 规范化

规范化投资组合风险分析：贝叶斯方法Sourish Dasa、Aritra Haldera和Dipak K.DeybaDepartment of Mathematics，Chennai Mathematics Institute，IndiabDepartment of Statistics，University of Connecticut，USA Abstracts投资组合经理评估和分析最近的投资组合波动性以将投资组合的风险控制在一定范围内非常重要。虽然投资组合中的金融工具数量可能很大，有时超过数千种，但用于分析的每日回报率仅为一个月，甚至更少。在这种情况下，组合协方差矩阵的秩小于全秩，因此解不是唯一的。这通常被称为“不适定”问题。在这篇文章中，我们讨论了一种贝叶斯方法来正则化这个问题。这种方法的另一个优点是通过估计“对总风险的条件贡献”（CCTR）为正的概率来分析风险的来源。每个来源的CCTR将总计为投资组合的总波动风险。现有方法仅估计一个来源的CCTR，未估计CCTR显著大于（或小于）零的概率。本文介绍了贝叶斯方法。我们使用一种可并行化且易于使用的蒙特卡罗（MC）方法来实现我们的目标。对各种风险度量的估计，如风险价值和预期短缺，成为这种蒙特卡罗方法的副产品。关键词：蒙特卡罗、并行计算、风险分析、收缩法、波动性1简介最近的欧元区危机提醒我们，“风险分析”始终是投资组合管理理论的重要组成部分。

在第4节中，我们用两个经验数据集演示了该方法。推理方法最初应用于一个由不同资产类别组成的小数据集。接下来，我们考虑由“印度国家证券交易所”（NSEI）的股票组成的投资组合。第5节总结了本文。2投资组合协方差矩阵的后验分布suppose，S是一个具有p（p+1）变量sij的p阶实对称样本投资组合协方差矩阵。∑=（（σij））是相应的总体投资组合协方差矩阵，因此对于具有对角元素1和-1，（D∑D）-1具有非正对角元素。因此，由于Bapat的条件，Bapat（1989）[7]，S的特征函数为ψS（T）=E[i exptr（T S）] = |Ip- iβ∑T|-α、 具有密度函数f（S）=∑αp（α）βαpexpn-βtrΣ-1秒o | S |α-（p+1），S>0具有参数α的不可整除多阶段伽马分布≥p-1, β ≥ 0第∑个正定义矩阵。没有te，如果0≤ α ≤p-1，S具有退化分布。如果我们选择α=n-1和β=2则S fo允许Wishart分布，即S~ W（n-（∑）（见Anderson，（1984）[8]，第252页）。如果p≥ n、 然后，S小于满秩，S的抽样分布退化，因此无法对此类情况进行有效的统计推断。Das和Dey（2010）[6]表明，if∑优先于倒转的多元gamma分布，即if∑~ MG公司-1p（a，β，ψ）∑的后验分布为∑S~ MG公司-1p（α+α，β，S+ψ）。注意，只要（α+a）≥p-1、后验分布合理。假设n≤ p、 即α≤p-1，其中α=n-1.然后S的抽样分布退化。然而，如果我们选择自由度参数a的先验阶数，则α+a≥（p- 1）这是一个≥p-∑的后验分布是适当的。

因此，我们将能够进行BayesianReference。如果我们选择a=与β=2，则先验o f∑是逆Wishart分布∑~ W-1（n，ψ）（1），∑is∑S的后验分布~ W-1（n+n- 1，ψ+S）（2）详见Anderson（1984）[8]。Ledoit和Wolf（2003、2004a、2004 b）的3系列论文确定了样本协方差矩阵未能对por tfolio协方差结构提供良好估计的原因，并表明了即使问题不是“病态d”也需要正则化。然而，在其结构框架上实施推理程序的范围不足，如条件贡献对总风险的数量。这背后的主要原因是为预期收益分配分配合适的模型的问题。本文给出了协方差矩阵S的一个假设~ W、 对预期收益具有正态/正态成分混合分布的基本假设。假设的正确性~ 如Gelman等人【15】所述，W由贝叶斯公式提供。预期收益的边际概率分布为t。这将为预测收益建模提供一种优于使用正态分布的方法。如果n<p，则我们选择先验自由度asn=（p- n） +c.（3）表示c>0。这确保了后验分布的正确性。∑isM的后验r模（∑S）=ψ+Sn+n+p=n+p+1n+n+p。ψn+p+1+n- 1n+n+p.序号- 1=qψn+p+1+（1- q） 序号- 1，（4）其中q=n+p+1n+n+p。∑的后验模式显然是收缩估计量，它是先验分布模式和样本协方差估计量的加权平均值。Das和Dey（2010）[6]表明，在Kullback-L eibler型损失函数下，后验模型也是一个B-ayes估计量。

（12） 注2：orem 1表示（5）目标的“收缩度”小于恒定时间pn+p；而在（4）中，朝向目标的收缩程度精确为Pn+p。方程式（10）是变量的函数，因此我们建议对规则化进行以下修改，∑=ρλ′I+（1- ρ） 序号- 1，式中，λ=（s，…，spp）′。我们有两种用于正则化的权重选择。使用（12），我们可以选择ρ作为贝叶斯权重，并将其性能和Ledoit和Wolf（2003）[4]中给出的ρ的辛权进行比较。在平方误差损失下，通过最小化E[L（ρ）]获得渐近权重ρ，即isL（ρ）=^Σ- Σ以ρ为准≥ 在解决第6部分中的优化问题时，在施加于S的概率结构下，我们得到了结果5。ρ=h[（n- 2） +1]Ppi=1σii- （n）- 2） Ppi=1σii- （n）- 1） Ppi=1Ppj=1σij（n- 2） [2Ppi=1σii+Ppi=1σii]i.我们比较了在不同权重下所得最优估计量的性能，即∑=ρλ′i+（1- ρ） 序号- 1，（13）对于结果5中的ρ，以及贝叶斯收缩估计量∑=λ′I+Sn+n+p=qn+p+1λ′I+（1- q） n个- 1秒。（14） 3用于分析RiskLedoit和Wolf（2004a）[3]的贝叶斯推断在无分布方法下给出了正则化协变量估计量的渐近性质。由于缺乏任何分配假设，我们无法应用任何推断程序来估算利息数量，例如“对总风险的边际贡献”（MCTR）和“CCTR”。个别证券的“MCTR”和“CCTR”为投资组合的风险行为提供了依据。然而，无分布方法绕过了显式模拟lstock返回的需要，并为正则化方法提供了一种合理性。

为了寻求更好的规范化程序，Ledoit和Wolf（2003）[4]利用市场指数利用市场中交易的单个证券的独立结构。这种方法通过改变收缩目标，实现了特定市场的规范化。在贝叶斯术语中，这表明与Ledoit和Wolf（2004a）相比，优先信息发生了改变。从适用性的角度来看，这种方法的缺点是，对于协方差矩阵的规则化过程，权重的计算非常复杂。正如我们在第2节中所看到的，该定理提供了一组简单的权重，显示了在方差矩阵上Wishart概率结构的最小假设下，shr inkage估计器与后验模型的函数等价性。此外，针对协方差矩阵提出的新正则化过程没有利用市场指数的任何其他相关结构。这提供了一种更通用和可实现的方法来重新调整协方差矩阵。在没有“卖空”的假设下，已知马科维茨[5]的期望方差优化程序在n<<p的情况下，由于第1节中已经说明的奇异性条件，其性能会出现动摇。通过正则化，协方差矩阵为问题提供了一个旁路。∑，处于不利地位 ω ∈ Rp，ωTnSn-1oΩ≥ 对于一个严格正定义的先验信息矩阵λ′IpωTM（∑S）ω=ωTqn+p+1λ′Ip+（1- q） 序号- 1.ω（q>0）=ωTqn+p+1λ′Ipω+ωT(1 - q） 序号- 1.ω > 0, ω ∈ Rp，自ωTqn+p+1λ′Ipω > 0. 马科维茨（1952年）提出的最大化费用和最小化方差的问题转化为投资者效用最大化的问题，asin Fabo z zi et al（2008）[14]。

在优化的一般设置下，我们将期望效用函数作为收益和方差的函数。E=u-Aλ，其中A是风险增加，投资者愿意承受每单位回报的增加。它是一种相对的风险规避措施。我们假设期望效用函数为0，而pro c需要进行优化。因此，A是针对每个证券的相对风险规避矩阵uiσi=诊断（A）i=1，对于个人证券而言，这是Shar-pe比率的函数。正则化协方差矩阵用于实现二次优化器子程序，以确定最优投资组合的权重。因此，我们可以计算组合中s选择的股票数量的组合风险。一旦使用权重计算出投资组合风险，下一步就是评估风险来源及其相互关系。可能有许多不同的风险来源，如个别股票、部门、资产类别、行业、货币或风格因素。在此之前，我们将风险源的概念保留为通用概念。我们考虑一个投资期，其中rj表示同一时期来源j的回报，其中j=1，2，p、 在此期间的预期投资组合回报isRp=pXj=1ωjrj，其中ωjis是投资组合对来源j的敞口，即投资组合权重，因此ωj≥ 0和ppj=1ωj=1，见Ruppert（2004）[9]。投资组合波动率定义为sσp=√ωT∑ω，其中ωT={ω，ω，…，ωp}。投资组合管理在投资期开始时确定ωjat的大小，通常使用Markowitz型优化。显然，权重（ωj）作为投资组合总波动率的调节器以及投资组合的协方差结构起着重要作用。我们已经处理了规范投资组合协方差结构的问题。

然而，对于经理来说，量化投资组合波动性对ω的微小变化的敏感程度也很重要。这可以通过区分权重的波动性来实现，即：。，（σp）ω=σp∑。ω = ,哪里 = {, , ..., p} ，被称为“总风险的边际贡献”（MCTR），见Mencheroetal。（2011）[10]和Baigent（2014）[11]。注意，源i的MCTR由以下表达式给出i=σppXj=1σijωj。CCTR是来源对总投资组合波动率的贡献量。换句话说，如果ζj=ωj。jis源j的C CT R，然后σp=pXj=1ζj=pXj=1ωj。j、 因此，总波动率可视为MCTR的加权平均值。现在，为了估计MCTR和CCTR，需要正则化的f∑估计，因为组合权重ω是由管理者预先确定的。然而，出于所有实际目的，经理对估算P更感兴趣(j<0）或P（ζj<0）。原因是，j<0或ζj<0意味着源j降低了总风险。在第二节中，我们提出了∑followsW的后验分布-1（n+n-1，S+ψ）。此外，为了估算P(j> 0）我们提出了一种基于独立复制的蒙特卡罗（MC）方法，如下所示：o步骤1：对于迭代i，从W-1（n+n- 1，S+ψ）o步骤2：计算σ（i）p=√ωT∑（i）ωo步骤3：计算（i） =σ（i）p.∑（i）。ωo步骤4：计算ζ（i）j=（i） jωjj对于所有j=1，2。。。，p、 o步骤5：设置i=i+1并转至步骤1。注意，这些是独立的复制，即迭代i的所有步骤，不依赖于前一个步骤（i-1). 如果有两个并行处理器可用，则迭代i和（i-1） 可以同时并行实现。事实上，人们可以认为该算法是一种“令人尴尬的并行”算法（见Matloff（2011）[12]）。

如果p很小，例如，如果我们将四个或五个不同的资产类别视为风险源，则可能不需要并行实施算法。但如果p非常大，就像nymutua l基金投资组合一样，股票数量可能会超过数千只。对于较大的p，生成∑（i）将很慢，因此，所有其他步骤中的后续计算也将很慢。在这种情况下，需要对算法进行并行化，以提高算法的时间复杂度。一旦生成样本，就可以很容易地估计所需的MC统计信息，如EP（ζj>0）=NNXi=1I（ζ（i）j>0），（15），其中N是模拟s iz e，如果A为真，i（A）=1，如果A为假，i（A）=0。4实证研究在本节中，我们用两组不同的实证数据说明了该方法。每种方法都将干扰程序暴露在不同的实际情况下。第一个数据集显示了Algoritm在一个小数据集上的表现，该数据集由5个资产类别和每个资产类别3个月的月度回报组成。第二个数据集显示了该算法在一个大型数据集上的性能，该数据集包括10年内p=450到p=990个股票的dailylog回报。4.1“指数”数据集首先，我们考虑五个资产类别的组合，即v iz。（i） 混合债券、（ii）新兴市场、（iii）商品、（iv）债券和（v）股票，摘自R-package“ghyp”（[16]）。投资时间表包括两个研究时段。第一个时间段包括三个月的月度回报数据（2008年5月、6月和7月），第二个时间段（2008年8月、9月和10月）。由于第二阶段的第二个月是2008年9月，当时发生了“雷曼兄弟破产”等事件，因此这一时期的总波动率非常高。

然而，对于投资组合经理来说，从最高到最低，识别不同的风险贡献来源是很重要的。我们在其他期间考虑相同的投资组合权重（见表1），以进行公平比较。其中n=3，p=5，这意味着正则样本协方差矩阵估值器不稳定，因为它为这两个周期提供了非唯一解。我们使用第2节中讨论的Bayesian方法。在n=3.5之前，我们选择Wishart的自由度，如（p-n） =2，我们通过c=1.5的cho ice保持平衡优先级信息，并选择ψ=λ′Ip，Ip是p阶的恒等式，如等式（1）、（2）和（3）所述。我们认为红色模拟大小为N=10000。我们在表3中给出了总波动率的后验估计值，在图1中给出了后验密度图。月度总投资组合波动率由后验均值估计，在第一至第二个期间，从5.18%上升至15.21%。如图1所示，在2a期间，投资组合密度变得更加正向倾斜。我们给出了五种资产类别的CCTR（ζ）的后验密度，即。（i） 图2、3、4和5中三组权重的混合债券、（ii）新兴市场、（iii）商品、（iv）债券和（iv）股票。很明显，我们可以从这些数据中看出，四种资产类别（即混合债券、新兴市场、商品和股票）的CCTR后验密度已经右移，并且在第二阶段变得更加积极。这意味着，这四种资产类别在第二个期间对总波动性风险作出了重大贡献。所有五类资产的后验估计见表4、5和6。除“债券”外，对于其他四种资产类别，在第二个时期内，标准偏差中每单位CCTR增量的后验平均值显著上升。