规范化投资组合风险分析：贝叶斯方法

因此，我们可以得出结论，这四种资产类别在统计上对投资组合的总波动风险贡献很大。这里需要注意的一点是，特别报告指出，在这四种资产类别中，“债券”的后验平均CCTR与“新兴市场”、“商品”和“股票”的CCTR相比是最小的。对于其他两个权重，即BLW（Ledoit Wolf with BayesianWeights）和DHD（第（3）节中的拟定权重），最低成本平均CCTR分别由“新兴市场”和“商品”表示。这可以通过注意到这两种方法主要通过相应地优化权重来降低por tfolio的波动性（1）来解释。资金的配置主要针对“债券”。这导致了一个相对优越的投资组合，在“危机”期间，建议权重结构（DHD）占主导地位（7），显示出较低的投资组合波动风险，最大回报，因此与其他投资组合相比，夏普比率更高。然而，“债券”是唯一一个后验密度没有向右移动的资产类别，如图5所示。相反，在提议的权重结构下，它变得更加集中在零附近。没有一种“混合债券”在第二阶段表现出最大的正偏离，这大大增加了投资组合风险。此外，我们可以从表6中看到，与其他资产类别相比，债券的贝叶斯95%置信区间显示出一个可观的负向利差。最后，使用方程式（15）中给出的公式，我们计算了两个时期的正CCTR概率，结果如表2所示。除债券外，所有资产类别的CCTR为正的概率在第2期间上升。在同一时期，债券的正CCTR概率降低。

这向我们表明，在第二阶段（现在通常称为“危机”时期），债券是唯一一种波动性风险表现出下降行为的资产类别。这一分析清楚地符合对债券市场的直观理解。这种分析的优点是，它可以提供对贝叶斯概率的直观理解。4.2印度国家证券交易所数据在此，我们考虑一个市场投资组合，包括从NSEI（印度国家股票交易所）市场获得的股票。投资期每半年确定一次。第1阶段包括2005-201年（1月至6月）和第2阶段（7月至12月）。各年份的数据可从以下网站下载：https://www.quandl.com/data/NSE?keyword=。所选10年期间的证券数量从p=455到p=991不等。我们考虑了每种可用证券的每日日志回报，为我们提供了n=125天的数据，这是两个时期p证券的平均数据。使用第2节中列出的常规化程序，使用数据的二次优化技术获得投资组合权重。我们将Ledoit和Wolf（2004a）这两种广义方法与第3节中提出的方法进行比较，使用∑作为正则化矩阵。对样本协方差矩阵的正则化∑（13）进行了另一比较。使用以下比较基础对两种方法下获得的投资组合进行比较：（i）半年投资组合回报，（ii）半年投资组合风险，（iii）夏普比率和（iv）投资组合规模。我们使用贝叶斯权重对协方差矩阵进行正则化。Wishart prior具有相应年份的asn=p自由度。

收缩目标或prio rψ=λ′I，其中λ′=（s，s，…，spp），如第3节∑（14）所定义。模拟大小为N=10000。图中所示为（？、？？、？？）根据最新的ris k衡量方法，即“VaR”（风险价值）和“ESF”（预期短缺），对这两种方法进行比较总结。我们展示了样本外的业绩，包括多年来投资组合的预期回报和波动性。表（10）提供了根据拟定权重构建的投资组合的样本外绩效总结。就样本外绩效而言，2007年9月这一时期显示出拟议方法的明显优势，而在其他样本外半年期，其平均优势超过了Ledoit和Wolf方法。我们将表（11）中的2013年7月至12月这一时期视为投资期，以说明仅基于股权构建的投资组合的推断程序。与“指数”数据集的引用过程相同，唯一的区别在于市场组合的规模要大得多，这使得问题相当“不适定”。向Starget收缩对p更敏感→ ∞, 而n保持不变，意味着pn→ ∞.请注意，从表（10）中可以看出，根据拟定权重构建的投资组合的规模利用了10%的市场。我们现在开始研究这两个投资组合的共同股票。对于具有较高CCTR的股票，即使用Ledoit和Wolf加权构建的投资组合中包含的P【ζ>0】，在使用表（11）所示的拟议权重构建的投资组合中呈现出更高的P【ζ>0】，这提供了两个投资组合之间的主要差异点，除了投资组合规模的显著差异。

表（8、9）列出了两个时期内6只股票的CCTR的后验汇总统计数据。第一期（2013年7月至12月）的X20百万欧元和ABBOTINDIA股票的CCTR为负值，有助于降低同期的por tfolio波动风险。与第二阶段相比，我们发现ABBOTINDIA呈现出正的CCTR，表明p[ζ>0]增加，这意味着投资组合波动性风险增加。X20MICRO NS保留了阴性CCTR，并在后均值附近显示出更多的浓度。在第二个时期（2014年1月至6月），ABGSHIP的CCTR为负值，与第一个时期相比，CCTR有明显下降。与第一期相比，ASTRAL和BAJAJHLDNG股票的CCT R下降，其分布更集中于前一期的平均值。然而，股票Bhushantl在这两个时期内没有发生重大变化。最后，使用渐近权重，而不是如∑所示具有相同收缩目标的Ledoit Wo lf方法的贝叶斯权重，我们可以计算ρ的值，为我们提供了与拟议投资组合权重相比的可比但较差的结果。拟议权重还提供了规模较小的投资组合，从而降低了投资者的交易成本。5结论在这篇论文中，我们讨论了贝叶斯方法来正则化“不适定”协方差估计问题，建立了贝叶斯技术与现有非参数技术的等价性。该方法还通过估计任何特定证券的CCTR为正的概率来分析风险来源。由于CCTR总计为总波动率，它提供了每个来源对总波动率的贡献。

常规方法仅估计一个来源的CCTR，但并不估计CTR显著大于（或小于）零的概率。本文讨论了这样做的方法。现有的和相对较新的风险度量，如ESF和VaR，用于分析拟议投资组合权重相对于传统方法的表现。我们提出了一种并行化且易于实现的蒙特卡罗方法，以对证券对总风险的个别贡献进行推断。我们进一步提出了两项实证研究，第一项研究表明，在2008年危机期间，由于股票和混合债券的贡献显著增加，由五个资产类别组成的投资组合经历了巨大的波动风险。同期，“债券”是对投资组合风险敞口平均贡献最小的资产类别。

其次，在相对较高维度下，在计算效率较高的贝叶斯分析（Bayesiananalysis）下，正则化技术的性能，以产生投资组合的有效构造及其风险敞口的推断。6附录结果1的证明：tr（∑）-[tr（∑）]p=pXi=1pXj=1σij-phpXi=1σiii=phpXi=1σii+pXXi6=jσij-npXi=1σii+pXXi6=jσiiσjjoi=ph（p- 1） pXi=1σii+pXXi6=j（pσij- σiiσjj）i=ph（p- 1） pXi=1σii+pXXi6=jσiiσjj（pρij- 1） i.因此，α=ph（p- 1） pXi=1σii+pXXi6=jσiiσjj（pρij- 1） i.结果2的证明：注意，对于协方差矩阵，以下结果为真，S，E[tr（S）]=tr[E（S）]=trhVar（S）+[E（S）]i=trh（n- 1） （（σij+σiiσjj））i=1。。。p、 j=1。。。p+（n- 1） ∑i=（n- 1） hpXi=1σii+（n- 1） tr（∑）i.利用上述结果，我们得到，β=Eh序号- 1.- Σi=pEhtrn序号- 1.- Σ序号- 1.- Σ′oi=pEhtrS（n- 1)- 2tr序号- 1Σ+ tr公司Σ氧指数。现在使用E[tr（.）]=tr[E（.）]，S~ W（n-1, Σ) => E[S]=（n-1） ∑，以及上述结果，我们有β=ptrhES（n- 1)- 2E类序号- 1Σ+ EΣoi=ph（n- 1） {2Ppi=1σii+（n- 1） tr（∑）}（n- 1)-n- 1（n- 1） tr（∑）+tr（∑）i=n- 1hppXi=1σiii.结果证明3：δ=Eh序号- 1.- uIi=pEhtrn序号- 1.- uI序号- 1.- uI′oi=pEhtrS（n- 1)-2un- 1tr（S）+utrIi=ptrhES（n- 1)-2un- 1（n- 1） ∑+pui=ph（n- 1） {2Ppi=1σii+（n- 1） tr（∑）}（n- 1)- 2[tr（∑）]p+[tr（∑）]pi=n- 1hppXi=1σiii+pntr（∑）-[tr（∑）]po=α+β。结果5的证明：ρ=argminρ≥0E[L（ρ）]=argminρ≥0Σ- Σ= argminρ≥0ρλ′Ip+（1- ρ） 序号- 1.- Σ= argminρ≥0ρDiagi{s，s，…，spp}+（1- ρ） 序号- 1.- Σ.现在考虑L（ρ）=ρDiagi{s，s，…，spp}+（1- ρ） 序号-1.- Σ我们有，E[L（ρ）]=pEhtrnρDiagi{s，s，…，spp}+（1- ρ） 序号- 1.- ΣρDiagi{s，s。

，spp}+（1- ρ） 序号- 1.- Σ′oi=ptrEhρDiagi{sii}+2ρ（1- ρ） 诊断{sii}Sn- 1.- 2ρDiagi{sii}∑- 2(1 - ρ） ∑Sn- 1+∑i.自，S~ W（n- 1，∑）表示，E[S]=（n- 1） ∑，我们有e[L（ρ）]=phpXi=1（n- 1） ρ（2σii+σii）+2pXi=1ρ（1）- ρ） （2σii+σii）- 2pXi=1ρ（n- 1）σii+pXi=1（1- ρ） n个- 1（2σii+σii）i.重新安排上述方程中的项，我们有e[L（ρ）]=phn√n- 1ρ +1 - ρ√n- 1.- ρ（n- 1） opXi=1σii+√n- 1ρ +1 - ρ√n- 1.pXi=1σii+（2ρ- 1） pXi=1pXj=1σiji。如果我们表示R（ρ）=E[L（ρ）]，那么为了最小化R（ρ），我们通过微分w.R.tρ和重新排列ρ系数项得到了正规方程R（ρ）ρ= 0=> （n）- 2） [2pXi=1σii+pXi=1σii]ρ=[（n- 2） +1]pXi=1σii- （n）- 2） pXi=1pXi=1σii- （n）- 1） pXi=1pXj=1σij，这是要求的结果。参考文献【1】Golosnoy V.，Okhrin Y.最优组合权重的多变量收缩。《欧洲金融杂志》，2007年；13:441-458.[2] Ledoit O.，Wolf M.Honey，我缩小了样本协方差e矩阵。《投资组合管理杂志》，2004年；30:4:110-1 19.[3] Ledoit O.，Wolf，M.大维协方差矩阵的一个条件良好估计。《多元分析杂志》，2004年；88:365-411.[4] Ledoit O.，Wolf M.改进了股票收益协方差矩阵的估计，并将其应用于投资组合选择。《经验金融杂志》，2003年；10:5:603-621 .[5] Markowitz Harry M.Portfolio Selectio n.金融杂志，1952年；77-91.[6] Das S.，Dey D.K。广义多元Gamma分布的贝叶斯推断。统计与概率信函，2010年；80: 1 492–1499.[7] Ba pat，R.B.多元Gamma分布和M矩阵的有限可分性。Sankhya：《印度统计杂志》，1989年；51:1:73 -78.[8] Anderson，T.W.《多元统计分析导论》第2版，Wiley，1984年。[9] Ruppert D.统计与金融国际产品。斯普林格，2004年。[10] Menchero J.，戴维斯。B

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!http://CRAN.R-project.org/package=ghyp?.7表和图表表1：五种资产类别的投资组合权重混合债券新兴市场商品债券股票特别权重5%5%20%40%30%Ledoit Wolf 28%9%13%33%18%Markowitz 28%0.7%1%70%0.8%表2：表2显示了两个时期内所有五种资产类别的概率（ζ>0）设定时期1时期2每个时期2时期2方法BM BM BLW BLW DHD DHY。债券0.57 0.77 0.80 0.90 0.70 0.99新兴。mkt 0.64 0.87 0.71 0.89 0.53 0.81商品0.74 0.87 0.66 0.86 0.51 0.80债券0.83 0.77 0.80 0.75 0.84 0.83库存0.77 0.94 0.73 0。92 0.54 0.82表3:Tota l Portfolio Vo latilityAsset类后验统计第1期第2期投资组合均值（SD）18.77（56.18）43.12（15 6.84）（特别）95%可信区间（3.78，80.30）（8.62，183.76）投资组合均值（SD）16.71（46.24）39.76（11 3.01）（BLW）95%可信区间（3.35，71.72）（8.02，166.74）投资组合均值（SD）2.36（5.57）15.86（49.95）（DHD）95%CI（0.48，10.40）（3.16，66.35）表4:CCTR五大资产类别的后验统计数据：均值法（P）HB EM.CM Bo St法（P）HB EM.CM Bo StBM（I）0.22 0.62 4.76 7.33 5.84 BM（II）1.49 3.33 9.56 1.02 26.22 BLW（I）4.57 1.46 2.01 5.52 3.15 BLW（II）10.96 4.69 5.65 7.21 11.26 DHD（I）0.75 0.03 0.01 1.56 0.03 DHD（II）11.9 7 0.41 0.33 2.69 0.45表5：五种资产类别es的后验统计数据：SDMethod（P）HB EM.CM Bo St方法（P）HB EM.C M Bo StBM（I）4.87 5.91 33.7 9 36.78 34.42 BM（II）7.14 19.79 48.46 6.78 77.43BLW（I）26.56 10.48 22.72 30.11 20.17 BLW（II）39.20 39.59 36.43 46.47 72.66DHD（I）4.98 0.87 6.61 5.45 0.72 DHD（II）39.14 2.75 2.34 11.72 2.09表6：CCTR五类资产的后验统计：95%C方法（P）HB EM.CM Bo St方法（P）HB EM。