期货衍生品的多尺度随机波动模型

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英文标题：
《Multiscale Stochastic Volatility Model for Derivatives on Futures》
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作者：
Jean-Pierre Fouque, Yuri F. Saporito, Jorge P. Zubelli
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper we present a new method to compute the first-order approximation of the price of derivatives on futures in the context of multiscale stochastic volatility of Fouque \\textit{et al.} (2011, CUP). It provides an alternative method to the singular perturbation technique presented in Hikspoors and Jaimungal (2008). The main features of our method are twofold: firstly, it does not rely on any additional hypothesis on the regularity of the payoff function, and secondly, it allows an effective and straightforward calibration procedure of the model to implied volatilities. These features were not achieved in previous works. Moreover, the central argument of our method could be applied to interest rate derivatives and compound derivatives. The only pre-requisite of our approach is the first-order approximation of the underlying derivative. Furthermore, the model proposed here is well-suited for commodities since it incorporates mean reversion of the spot price and multiscale stochastic volatility. Indeed, the model was validated by calibrating it to options on crude-oil futures, and it displays a very good fit of the implied volatility.
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中文摘要：
本文中，我们提出了一种新的方法，在Fouque等人（2011，CUP）的多尺度随机波动背景下，计算期货衍生品价格的一阶近似值。它为Hikspoors和Jaimungal（2008）提出的奇异摄动技术提供了一种替代方法。我们的方法的主要特点有两个：第一，它不依赖于任何关于支付函数规律性的额外假设，第二，它允许对模型进行有效且直接的隐含波动率校准。这些特性在以前的工作中没有实现。此外，我们方法的核心论点可以应用于利率衍生品和复合衍生品。我们的方法的唯一先决条件是基础导数的一阶近似。此外，本文提出的模型非常适合大宗商品，因为它包含了现货价格的均值回归和多尺度随机波动。事实上，通过将该模型与原油期货期权进行校准，该模型得到了验证，并显示出与隐含波动率非常吻合的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Multiscale_Stochastic_Volatility_Model_for_Derivatives_on_Futures.pdf (453.75 KB)

2022-6-28 00:33:59 上传

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关键词：波动模型 衍生品 Quantitative Perturbation volatilities

[2011].众所周知，在无套利假设下，我们可以找到一个风险中性概率度量，使得该市场中的所有可交易资产在适当贴现后，都是该度量下的鞅（见Delbaen和Schachermayer【2008年】）*加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，fouque@pstat.ucsb.edu.NSF拨款DMS-1107468支持的工作+加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，931063110，saporito@pstat.ucsb.edu.富布赖特基金会15101796和巴西教育部CAPES基金会支持的工作，巴西，布拉斯尼亚，DF 70.040-020IMPA（澳大利亚材料与应用研究所），Est。D、 巴西里约热内卢卡斯托里纳110号，RJ 22460-320，zubelli@impa.br.CNPq根据赠款302161和474085以及FAPERJ根据CEST和PENSARIO计划支持的工作。关于这个主题的广泛论述）。在这里，我们在本文中假设利率不变。到期日为T的资产V期货合同是在期货交易所交易的标准化合同，双方同意以合同签订之日商定的价格交易资产V的到期日T。这个先前安排好的价格叫做罢工。到期日为t时的未来价格≥ 资产V的t（用Ft表示）定义为未来合同V的执行，到期日为t，以便在t时不支付溢价。在符号中，Ft，t=等式【VT | Ft】，（1.1），其中Q是风险中性概率。

这与通常的扰动理论和衍生品定价问题产生了重要区别。本文中提出的方法可以描述如下：（i）为未来Ft编写随机微分方程（SDE），T所有系数仅取决于Ft，T。这意味着我们需要反转V的未来价格，以便将VT编写为Ft，T的函数。（ii）考虑Ft上欧洲导数的定价偏微分方程（PDE），T、 该PDE的系数将以复杂的方式取决于资产的短期波动的时间尺度。此时，我们使用微扰分析通过扩展系数来处理此类偏微分方程。（iii）确定金融衍生工具的一阶近似值，参见inFouque等人【2011年】。事实上，这种方法并不是解决这个问题的唯一方法。相反，我们本可以将该复合衍生工具视为资产中更为复杂的衍生工具，然后找到Hikspoors和Jaimungal【2008】中提出的一阶近似值。反过来，这又遵循了Cotton等人[2004]的设计思想，并基于所考虑的付息函数的泰勒展开式，即未来价格Ft，T近似的零阶项。因此，必须假设付息函数具有某种光滑性。由于这里所考虑的方法不依赖于这种泰勒展开，因此除了扰动方法固有的限制之外，不需要其他限制。此外，我们将表明，尽管这里介绍的方法涉及更多，但它允许更干净的校准。这是因为我们将衍生品视为未来价格的函数，未来价格是一种可交易资产，因此是定价风险中性度量下的鞅。

我们参考第5节，以更彻底地比较此处介绍的方法与Hikspoors和Jaimungal【2008】中介绍的方法。使用本文中提出的方法可以处理的另一组重要示例包括利率衍生品（见Cotton等人[2004]）。此外，在股票案例中，该方法可用于解决定价复合衍生品的一般问题，正如Fouque和Han【2005】通过Payoff函数的泰勒展开所做的那样。我们工作的主要贡献是一种计算一般复合衍生产品价格一阶近似值的通用方法，因此不必假设关于支付函数规律性的额外假设。唯一的先决条件是基础导数的一阶近似值。换言之，本文提出的方法允许我们推导化合物衍生物的一阶近似值，保持Fouqueet al.（2011）中给出的原始近似值的假设。此外，该方法保持了微扰法的另一个理想特征：市场组参数的直接校准。本文的组织结构如下：第2节描述了基础资产的动态，然后，在第3节中，我们按照之前概述的方法，找到V。第4节描述了看涨期权的校准程序，并分析了原油期货期权校准的一个示例。最后，我们在第5节和第6节总结了本文，并将我们的工作与之前的方法进行了比较，并对进一步的研究提出了一些建议。2模型首先，我们定义了一个过滤的风险中性概率空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）。选择风险中性度量，以便关系（1）成立。

在这个概率空间中，我们假设资产价值vt由一个具有多尺度随机波动率的指数Ornstein-Uhlenbeck（exp-OU）随机过程描述。即Vt=es（t）+Ut，dUt=κ（m- Ut）dt+η（Yεt，Zδt）dW（0）t，dYεt=εα（Yεt）dt+√εβ（Yεt）dW（1）t，dZδt=δc（Zδt）dt+√δg（Zδt）dW（2）t，（2.1），其中（W（0）t，W（1）t，W（2）t）是相关的Q-布朗运动，dW（0）tdW（i）t=ρidt，i=1，2，dW（1）tdW（2）t=ρdt。当ε=1时，我们将用（2）中第二个随机微分方程给出的过程表示。该模型的主要假设是：o对于任何固定值（ε，δ），存在SDE（2）的唯一解。o选择风险中性概率Q，以便将市场上观测到的VO的未来价格与模型（2）和鞅关系（1）产生的价格相匹配|ρ|<1，|ρ|<1，|ρ|<1和1+2ρρρ-ρ-ρ-ρ> 0. 这些条件决定了（W（0）t，W（1）t，W（2）t）协方差矩阵的正不确定性利率是恒定的，等于r。oα和β使得过程yh具有唯一的不变分布，ismean回复，如【Fouque等人，2011年，第3.2节】。oη（y，z）是一个正函数，在z上是光滑的，因此η（·，z）相对于y的不变分布是可积的。os（t）是一个确定的季节性因子。重要的是要注意，我们本可以像Fouque等人[2011]那样明确考虑波动性风险的市场价格，这样我们就可以得到ε级的aterm-1/2和δ1/2阶项分别位于Yε和Zδ的漂移中，两者都取决于Yε和Zδ，它们可以按照上述参考文献中的方式进行处理。

为便于记法，我们在此不考虑波动性风险的市场价格。该模型的一个简单推广是在U漂移中添加了一个确定的时变长期平均值m（t），这很容易处理。另一个更细微的延伸是Schwartz双因素模型，参见Schwartz【1997】。我们现在重申对VFt未来价格的定义，T=等式[VT | Ft]，0≤ t型≤ T、 然后，在下一节中，我们将发展Ft导数的一阶近似，T.备注2.1。更准确地说，我们说函数gε，δ是函数fε，δ的一阶近似值，如果| gε，δ- fε，δ|≤ C（ε+δ），对于某些常数C>0，以及对于非常小的ε，δ>0。我们使用旋转ε，δ- fε，δ=O（ε+δ）。3期货合约衍生工具3.1期货价格的一阶近似值。我们给出了均值回复资产期货价格的一阶近似值。对于固定到期日T>0，我们定义ε，δ（T，u，y，z，T）=等式[VT | Ut=u，yεT=y，zδT=z]，并注意Ft，T=hε，δ（T，Ut，yεT，zδT，T）。我们考虑powersof中的形式扩展√ε和√hε的δ，δ：hε，δ（t，u，y，z，t）=Xi，j≥0(√ε） 我(√δ） jhi，j（t，x，y，z，t）。我们感兴趣的是均值回复资产上导数的一阶近似值，这在Hikspoors和Jaimungal【2008】以及Chiu等人中有介绍。

[2011].记住，yde注意到ε=1的过程Yε。应用上述参考文献中所述的未来价格的一阶近似值，我们选择上述正式序列的第一项，以beh（t，u，z，t）=exps（T）+m+（u- m） e类-κ（T-t） +(R)η（z）4κ1.- e-2κ（T-t）,（3.1）h1,0（t，u，z，t）=g（t，t）V（z）h类u（t，u，z，t），（3.2）h0,1（t，u，z，t）=f（t，t）V（z）h类u（t，u，z，t），（3.3），其中，表示关于Yby h·i的不变分布的平均值，我们得到了η（z）=hη（·，z）i，（3.4）V（z）=-ρη（·，z）β（·）φy（·，z）,V（z）=ρg（z）hη（·，z）i'η（z）'η（z），f（t，t）=e3κ（t-t）- e2κ（T-t） 2κ-e3κ（T-t）- 16κ，g（t，t）=e-3κ（T-t）- 13κ，φ（y，z）是泊松方程的解φ（y，z）=η（y，z）- η（z），（3.5），其中Lb是Y的最小生成元。此外，我们可以假设h1,1不依赖于Y，并选择h2,0（t，u，Y，z，t）=-φ（y，z）h类u（t，u，z，t）+c（t，u，z，t），（3.6），对于一些不依赖于y的函数c。在所有这些选择和一些正则条件下，类似于本节末尾定理3.2中给出的条件，如Chiu et al.（2011）和Hikspoors and Jaimungal（2008）所示，wehavehε，δ（t，u，y，z）=h（t，u，z，t）+√εh1,0（t，u，z，t）+√δh0,1（t，u，z，t）+O（ε+δ）。此外，以下简化适用：h1,0（t，u，z，t）=g（t，t）V（z）e-3κ（T-t） h（t，u，z，t）和h0,1（t，u，z，t）=f（t，t）V（z）e-3κ（T-t） h（t，u，z，t）。3.2未来价格的动态在本节中，我们将推导描述Ft动态的SDE，并将其系数写成Ft，T的函数。

由于Ft是Q下的鞅，其动力学没有漂移，因此，将It^o公式应用于Ft，T=hε，δ（T，Ut，YεT，ZδT，T），我们得到dft，T=hε，δu（t，Ut，Yεt，Zδt，t）η（Yεt，Zδt）dW（0）t+√εhε，δy（t，Ut，yεt，Zδt，t）β（yεt）dW（1）t+√δhε，δz（t，Ut，Yεt，zδt，t）g（zδt）dW（2）t。我们对Ft上的衍生品合约感兴趣，并应用扰动方法来近似其价格。因此，我们将重写上面的SDE，所有系数取决于Ft，而不是Ut。为了继续，我们假设我们可以将hε，δ相对于u转化为固定的ε，δ，y，z和T，即存在一个函数hε，δ（T，x，y，z，T），使得hε，δ（T，·，y，z，T）=（hε，δ（T，·，y，z，T））-由于（3.1）给出的h（t，u，z）在u中是可逆的，至少对于小的ε和δ来说是可逆的，所以这个反演在我们的模型上不是一个很强的假设。Hε，δ的渐近分析在下面的引理中给出。引理3.1。如果我们选择H，H1,0，H0,1为（i）H（t，·，z，t）=（H（t，·，z，t））-1，（ii）H1,0（t，x，z，t）=-h1,0（t，H（t，x，z，t），z，t）h类u（t，H（t，x，z，t），z，t），（iii）H0,1（t，x，z，t）=-h0,1（t，H（t，x，z，t），z，t）h类u（t，H（t，x，z，t），z，t），其中h1,0和h0,1分别由（3.1）和（3.1）给出，那么，我们有Hε，δ（t，x，y，z，t）=H（t，x，z，t）+√εH1,0（t，x，z，t）+√δH0,1（t，x，z，t）+O（ε+δ）。证据

推导过程很简单。注意，Hε，δ（t，Ft，t，y，z，t）=u如果我们定义ψε，δ（t，x，y，z，t）=hε，δu（t，Hε，δ（t，x，y，z，t），y，z，t），ψε，δ（t，x，y，z，t）=hε，δy（t，Hε，δ（t，x，y，z，t），y，z，t），ψε，δ（t，x，y，z，t）=hε，δz（t，Hε，δ（t，x，y，z，t），y，z，t），我们得到Ft，TdFt，t=ψε，δ（t，Ft，t，yεt，zδt，t）η（yεt，zδt）dW（0）t（3.7）+√εψε，δ（t，Ft，t，Yεt，Zδt，t）β（Yεt）dW（1）t+√Δψε，δ（t，Ft，t，Yεt，Zδt，t）g（Zδt）dW（2）t.3.3期货合约衍生工具的定价PDE现在将到期日为t的期货合约固定在V上，并考虑到期日为t<t的欧洲衍生工具，其支付仅取决于终值Ft，t.A该衍生工具在Ft上的无套利价格，由pε，δ（t，x，Y，Z，t）=EQ-r（T-t） ν（FT，t）| FT，t=x，Yεt=Y，Zδt=Z]，其中Q是第2节中讨论的风险中性概率，我们使用的事实是（FT，t，Yεt，Zδt）是一个马尔可夫过程。在本节中，我们推导了Pε，δ的偏微分方程。重新调用Ft，t遵循方程（3.2），其中Yε和Zδ皮重在（2）中给出。然后，我们在微元生成器Lε中写入δof（Ft，T，YεT，ZδT），其中，为了便于记法，我们将删除ψε，δi，i=1，2，3，Lε，δ=ε的变量（T，x，Y，Z，T）L+（ψε，δ）β（y）x+ψε，Δβ（y）x个y(3.8)+√ερψε，Δψε，Δη（y，z）β（y）x+ρψε，Δη（y，z）β（y）x个y+t+（ψε，δ）η（y，z）x个- r·+√δρψε，Δψε，Δη（y，z）g（z）x+ρψε，Δη（y，z）g（z）x个z+ δM+（ψε，δ）g（z）x+ψε，δg（z）x个z+rδερψε，Δψε，Δβ（y）g（z）x+ρψε，Δβ（y）g（z）x个y+ρψε，Δβ（y）g（z）x个z+ρβ（y）g（z）yz,式中，L=β（y）y+α（y）y、 （3.9）M=g（z）z+c（z）z、 众所周知，在一些温和的条件下，根据费曼-卡克公式，Pε，δ满足定价PDELε，δPε，δ（t，x，y，z，t）=0，Pε，δ（t，x，y，z，t）=Д（x）。（3.10）3.4摄动框架我们现在将按照Fouque等人【2011】中概述的方法，对Ft上的欧式导数进行形式奇异摄动和正则摄动分析。

然而，在我们的情况下，我们有一个根本的区别：微分算子的系数ε，δ，由方程（3.3）给出，以复杂的方式取决于ε和δ。特别是，对应于系数ε的术语-1不仅仅是ε阶-为了避免这个问题，我们将把系数展开为ε和δ的幂，然后收集每个阶的正确项。因此，有必要计算ψε，δi展开式的一些项。附录A中给出了该展开式的所有细节，最终结果是：Lε，δ=εL+√εL+L+√εL+√δM+rδεM+·····，其中Lis由（3.3）给出，l=ρe-κ（T-t） η（y，z）β（y）xx个y、 （3.11）L=t+e-2κ（T-t） η（y，z）xx个- r·（3.12）-e-2κ（T-t）φy（y，z）β（y）xx个y、 M=ρ（1- e-2κ（T-t） ）2κβ（y）g（z）’η（z）’η（z）xx个y（3.13）+ρβ（y）g（z）yz、 L=（ψ2,3,0（t，x，y，z，t）β（y）（3.14）+ρψ1,2,0（t，x，y，z，t）η（y，z）β（y））x个y-ρe-3κ（T-t）φy（y，z）η（y，z）β（y）xx、 M=ρe-κ（T-t） （1）- e-2κ（T-t） ）2κη（y，z）g（z）’η（z）’η（z）xx（3.15）+ρe-κ（T-t） η（y，z）g（z）xx个z+（ψ2,2,1（t，x，y，z，t）β（y）+ρψ1,1,1（t，x，t）η（y，z）β（y））x个y、 与Fouque et al.（2011）所述情况的根本差异体现在一个术语中：差异运算符L，它对顺序有贡献√ε在Lε的展开式中，δ。此外，请注意，这些运算符的系数与时间相关，这使渐近分析变得复杂。Fouque等人【2004年】也提出了这一难题。3.5一阶近似的形式推导让我们将Pε，δ形式化为√δ和√ε、 Pε，δ=Xm，k≥0(√ε） k级(√δ） mPk，m，并简单地用pw表示P0,0这里我们假设，在到期时，P（T，x，y，z，T）=Д（x）。我们对测定P、P1,0和P0,1感兴趣。我们遵循Fouque等人提出的方法。