使用状态空间框架进行死亡率建模的统一方法：

我们假设提议的约束条件（18）全部通过，避免了在执行MCMC时的约束问题，如第2.4节所述非线性/非高斯随机死亡率模型：在非线性和/或非高斯状态空间模型动力学的情况下，如LC3-H2的随机挥发模型和LCSV模型，我们开发的采样器基于Andrieu等人（2010）的粒子Metropolis Hastings采样器的新发展，该采样器适用于随机死亡率模型。特别是，我们考虑了针对潜在状态过程全后验条件的Raobackwellized Kalman滤波器和部分icle滤波器的组合，以及针对静态模型参数的Gibbs内Metropolis和G ibbs采样步骤的组合。通常，在我们考虑的所有贝叶斯方法下，我们的目标是获得状态κ0:Tas的联合后验概率π（κ0:T，ψ| y1:T）（43）以及参数ψ，给定观测值y1:T。我们从线性高斯状态空间随机死亡率模型的第一种情况开始，并以LC Hmodel为例，其中参数向量为ψ：=（αx:xp，βx:xp，θ，σε，x:xp，σω），因为我们使用了（18）中提出的约束。5.1线性高斯状态空间推断我们开发了一种有效的方法，包括针对静态模型参数的边际目标分布的组合吉布斯采样共轭模型采样器，以及针对潜在过程κ1:t的前向后向卡尔曼滤波器采样器。通过吉布斯采样获得目标密度的样本，其中M是MCMC迭代次数（算法2）。算法2 R ao黑井化前后向卡尔曼滤波器和G ibbs采样π（κ0:T，ψ| y1:T）1：初始化：ψ=ψ（0）。2： 对于i=1，M do3：样本κ（i）0:T来自π（κ0:T |ψ（i-1） ，y1:T）通过FFBS（第5.1.1节）。4： 对于h=1。

，n do5：样本ψ（i）hfromπ（ψh |κ（i）0:T，ψ（i）-h、 y1：T），6：式中ψ（i）-h=（ψ（i），ψ（i）h-1，ψ（i-1） h+1，ψ（i）-1） n）。7： end for 8：end for the general block Gibbs采样算法步骤需要从完整的条件密度π（κ0:T |ψ，y1:T）和π（ψ|κ0:T，y1:T）中进行采样，如下所示。5.1.1从全条件密度π（κ0:T |ψ，y1:T）中采样全条件密度π（κ0:T |ψ，y1:T）的样本可通过所谓的前向滤波后向采样（FFBS）程序获得（Carter和Kohn（1994））。我们可以写出π（κ0:T |ψ，y1:T）=TYt=0π（κT |κT+1:T，ψ，y1:T）=TYt=0π（κT |κT+1，ψ，y1:T），（44），其中乘积中的最后一项π（κT |ψ，y1:T）分布为N（mT，CT），这是从卡尔曼滤波过程的最后一次迭代中获得的。一旦我们从N（mT，CT）中提取样本κt，那么（44）表明我们可以从π（κt |κt+1，ψ，y1:t）中递归和向后绘制κt，其中t=t- 1，T- 2.1, 0. 此外，我们有κt |κt+1，ψ，y1:t~ N（ht，ht），（45），其中ht=mt+CtR-1t+1（κt+1- 在+1时，（46a）Ht=Ct- CtR公司-1t+1Ct，（46b），可根据Kalma n smoother得出（Petris et al.（2009））。FFBS程序显示在算法3中。注意，可以将κ的先验分布设置为模糊，以运行卡尔曼滤波器；算法hm的输出包括κ的后验分布。算法3 FFBS算法hm：前向滤波后向采样1：运行Ka lma n filter以获得MTA和CT。2： 样本κt来自N（mT，CT）。3： 对于t=t- 1.

，0 do4：使用上一步获得的样本κt+1从N（ht，ht）中取样κt。5： 结束于5.1.2从全条件密度π（ψ|κ0:T，y1:T）中取样。首先要观察的是，在识别约束（18）的重新参数化下，可以精确执行以下吉布斯取样阶段。我们假设（αx:xp，βx:xp，θ，σε，x:xp，σω）的先验由αx给出~ N（△uα，△σα），βx~ N（△uβ，△σβ），θ~ N（￠uθ，￠σθ），（47a）σε，x~ IG（▄aε，▄bε），σω~ IG（～aω，～bω），（47b），其中IG（～aω，～bω）表示具有平均值～bω/（～aω）的反向ga mma分布- 1） 和方差▄bω/（▄aω-1） （￠aω-2） ）对于￠aω>2。我们假设所有参数的先验是独立的。在这种情况下，参数的后验密度与先验密度的类型相同，aso称为共轭先验。每个参数的后验分布如下所示（为了便于注释，我们写下，y=y1:T，κ=κ0:T，族ψ-λ表示“无参数λ的参数向量ψ”）：αx | y1:T，κ，ψ-αx~ Nuασε，x+￠σαPt（yxt- βxκt）▄σαt+σε，x，▄σασε，x▄σαt+σε，x, （48）βx | y1:T，κ，ψ-βx~ N∑βPt（yxt- αx）κt+￠uβσε，x￠σβPtκt+σε，x，￠σβσε，x￠σβPtκt+σε，x！，（49）θ| y1:T，κ，ψ-θ~ NσθPTt=1（κt- κt-1） +￠uθσω￠σθT+σω，￠σθσω￠σθT+σω！，（50）σε，x | y1:T，κ，ψ-σε，x~ IG▄aε+pT，▄bε+TXt=1（yxt- （αx+βxκt））！，（51）σω| y1:T，κ，ψ-σω~ IG▄aω+T，▄bω+TXt=1（κT- （κt-1+ θ))!. （52）5.2非线性/非高斯状态空间推断在非线性/非高斯状态空间模型动力学的情况下，如LC3-H2的随机波动模型和LCSV模型，我们开发的采样器基于Andrieu et al.（2010）的粒子Metropolis Ha stings采样器的最新开发，该采样器适用于随机死亡率模型。

特别是，我们考虑了Rao BlackwellizedKalman滤波器和粒子滤波器的组合，用于潜在状态过程的全后验条件，以及Gibbs内Metropolis和静态模型参数的Gibbs采样步骤的组合，以及嵌入PMCMC框架内的其他组合。我们将说明LCSV模型的这种方法的思想，其中随机波动性动力学包含在周期效应的最近过程中。5.2.1 LCSV死亡率模型的估计静态参数向量表示为ψ=（αx:xp，βx:xp，θ，σε，σγ，λ，λ，γ）。注意，我们将γ视为静态参数，我们的任务是从联合后验分布中获取样本：π（κ0:T，γ1:T，ψ| y1:T）。（53）在这种情况下，人们可以尝试多种不同的方法，首先是通过下文描述的PMCMC方法从全后验分布（53）中联合取样。第二种方法是将PMCMC方法与基于Gibbs的块状取样器相结合，如以下抽样方案，其中我们将Gibbs抽样应用于全条件密度π（κ0:T |ψ，γ1:T，y1:T），（54a）π（ψ|κ0:T，γ1:T，y1:T），（54b）π（γ1:T |ψ，κ0:T，y1:T）。（54c）注意，（54a）中的采样可以通过算法3中描述的FFBS程序实现，因为可以应用K-alman滤波，因为假设γ1:t是给定的。与第5.1.1节相比，唯一的区别是，在卡尔曼滤波中，术语σω被exp{γt}代替。在下文中，我们详细介绍了如何通过PMCMC方法从完全后验（53）或完全条件（如（54c）中的密度）中采样。

第5.2.4.5.2.2节“死亡率模型的粒子马尔可夫链蒙特卡罗（PMCMC）”中详细介绍了静态参数（54b）的后验抽样。在本节中，我们解释了可应用于一系列状态空间随机死亡率模型方法的PMCMC方法的一般形式。通常，PMCMC采样方法是一类MCMC方法，其中SMC算法用作MCMC算法中的建议分布。虽然这看起来微不足道，但实际上是基于akey的观察，通过在MCMC中使用这样的过滤器，Metropolis Hastings接受-拒绝阶段的接受概率维度显著降低，因此可以产生更好的马尔可夫链混合性能，减少估计方差，详细讨论见Andrieu等人（20-10）。为了揭示PMCMC的本质，我们首先讨论从目标分布π（φ1:T，ψ| z1:T），（55）中采样的一般方法，其中φ1:Tandψ是一般状态空间模型的潜在状态和静态参数。注意，这种情况下的状态过程通常是非线性的，并且可能是非高斯的。从获得最有效混合马尔可夫链的角度来看，构建（φ′1:T，ψ′）马尔可夫链的理想建议分布很容易由q（ψ′ψ）pψ′（φ′1:T:z1:T），（56）给出，其中q（ψ′ψ）是对参数的建议，也是对后一状态pψ′（φ′1:T:z1:T）的建议，来自状态方程（给定ψ′）。

这里（φ1:T，ψ）是MCMC迭代j的当前状态- 1和（φ′1:T，ψ′）是T MCMC迭代j的下一步。在这种理想情况下，该理想方案的接受概率为：α（（φ′1:T，ψ′，（φ1:T，ψ））=1∧p（φ′1:T，ψ′z1:T）q（ψ′ψ′）pψ（φ1:T | z1:T）p（φ1:T，ψ′z1:T）q（ψ′ψ）pψ′（φ′1:T | z1:T）（57）=1∧pψ′（φ′1:T | z1:T）p（ψ′z1:T）q（ψ′ψ′）pψ（φ1:T | z1:T）pψ（φ1:T | z1:T）p（ψ′z1:T）q（ψ′ψ）pψ′（φ′1:T | z1:T）（58）=1∧p（ψ′z1:T）q（ψ′）p（ψ′z1:T）q（ψ′ψ）（59）=1∧pψ′（z1:T）p（ψ′）q（ψ|ψ′）pψ（z1:T）p（ψ）q（ψ′|ψ），（60），其中r∧ r： =最小值（r，r）。理想提议的一个可取特性是，接受概率仅取决于边际可能性，以及静态参数的先验和提议。这是最佳的，因为数字和分母的维数显著降低到静态模型参数的维数，并且不包括明确的pat h空间潜在过程维数，d维状态向量φT的d×T维数降低。然而，显然，我们永远无法实现这一目标，因为它需要对pψ′（φ′1:T | z1:T）的完全了解，以及对这一分布进行采样的能力，这两种能力都是无法实现的，除非在第5.1节中解释的线性高斯情况的特殊情况下。为了避免这个问题，粒子边缘Metropolis Hastings采样器（PMMH；Andrieu et al。

（201 0））应用SMC方法获得状态转移度的n近似值（这也是状态建议）^pψ′（φ1:T | z1:T）=NXi=1w（i）TΔφ（i）1:T（φ1:T），（61），其中w（i）是重要权重，δx（x）表示以x为中心的Dirac质量函数，并从该离散近似分布中得出潜在状态的下一步移动。此外，SMC算法的一个副产品是边际似然，^pψ（z1:T），它具有以下重要性质：引理5.1 SMC建议允许s a副产品是边际似然pψ（z1:T）g i v en的无偏估计量，由^pψ（z1:T）：=TYt=2^pψ（zt | z1:T-1） ，（62）其中，对于all t，N粒子的SMC近似产生^pψ（zt | z1:t-1） =NNXi=1w（i）t，（63），这是pψ（zt | z1:t）的无偏粒子估计-1). 正如ed inChopin等人（2013）所解释的那样，这种非平凡的无偏性在Del Moral（2004）中得到了体现，并在此后得到了极大的利用。此外，该估计量的方差通常仅随t线性增长。然后在接受概率（60）中使用无偏近似边际似然度：α（（φ′1:T，ψ′，（φ1:T，ψ））=1∧^pψ′（z1:T）p（ψ′）q（ψ|ψ′）^pψ（z1:T）p（ψ）q（ψ′|ψ）。（64）由于估计边际可能性的无偏性，Andrieu等人（2010）表明，尽管仅使用SMC近似值（粒子数为有限），PMMH的不变分布是目标分布π（φ1:T，ψ| z1:T）。为了应用PMCMC f或LCSV模型的有效估计，我们首先注意到，我们可以通过共轭先验明确获得静态参数的后验值。因此，我们只需要从密度π（γ1:T |ψ，κ0:n，y1:T）中取样，而不是从节理密度π（γ1:T，ψ|κ0:n，y1:T）中取样。

事实证明，有一类PMCMC算法，称为粒子无关Metropolis Hastings采样器（PIMH），它提供了一种从π（γ1:T |ψ，κ0:n，y1:T）精确采样的机制。算法hm 4总结了我们从CSV模型的联合后验分布π（κ0:T，γ1:T，ψ| y1:T）采样的方法。算法4π（κ0:T，γ1:T，ψ| y1:T）1的采样：初始化：ψ=ψ（0），γ1:T=γ（0）1:T.2：对于i=1，M do3：样本κ（i）0:T来自π（κ0:T |γ（i-1） 1:T，ψ（i-1） ，y1:T）通过FFBS；4： 样品γ（i）1:T来自π（γ1:T |κ（i）0:T，ψ（i-1） ，y1:T）通过PIMH（第5.2.3节）；5： 对于h=1，n do6：样本ψ（i）hfromπ（ψh |κ（i）0:T，γ（i）1:T，ψ（i）-h、 y1：T），7：式中ψ（i）-h=（ψ（i），ψ（i）h-1，ψ（i-1） h+1，ψ（i）-1） n）通过共轭优先。8： 结束时间9：结束时间5.2.3 PIMH：从π（γ1:T |ψ，κ0:n，y1:T）中取样。我们首先注意到，给定LCSV模型的结构，π（γ1:T |ψ，κ0:n，y1:T）=πψ（γ1:T |κ0:n）。在Metropolis-Hastings算法中，使用独立的概率密度qψ（γ1:T |κ0:n），接受概率由α（γ′1:T，γ1:T）=1给出∧πψ（γ′1:T |κ0:n）qψ（γ1:T |κ0:n）πψ（γ1:T |κ0:n）qψ（γ′1:T |κ0:n）。（65）理想情况下，可以取qψ（γ1:T |κ0:n）=πψ（γ1:T |κ0:n）。然而，在大多数情况下，这种理想的选择是不可能抽样和评估的。PIMH取样器建议使用SMC近似^πψ（γ1:T |κ0:n）作为建议密度，并将接受概率计算为α（γ′1:T，γ1:T）=1∧^πψ（κ0:n）′^πψ（κ0:n）〔j〕- 1] ，（66）式中，^πψ（κ0:n）′和^πψ（κ0:n）[j- 1] 是SMC（见Lemma 5.1）在当前MCMC迭代j和上一次迭代j中估计的无偏边际可能性- 分别为1。可以看出，PIMH采样器的不变分布是目标分布πψ（γ1:T |κ0:n）（Andrieu et al.（2010））。仍需指定SMC近似值^πψ（γ1:T |κ0:n）（附录B）。

我们使用所谓的bootstrap滤波器，即SMC算法中的建议分布来绘制由状态方程（23c）：gt（γt |γ1:t）给出的γt-1，κ0:t）：=πψ（γt |γt-1). （67）因此，重要性权重被评估为wt∝ 重量-1πψ（κt |γt，κt-1） ，（68）式中π（κt |γt，κt-1） 是增量重要性权重。算法5（连同算法6）总结了我们从πψ（γ1:T |κ0:T）采样的方法。算法5 PIMH：从πψ（γ1:T |κ0:T）1采样：迭代j=0：通过算法6获得SMC近似值^πψ（γ1:T |κ0:T）。绘制γ1:T[0]~ ^πψ（γ1:T |κ0:T），并获得相应的边际似然估计^πψ（κ0:n）[0]。2： 对于j=1，NP IM Hdo3：通过算法6获得SMC近似^πψ（γ1:T |κ0:T）。图纸γ′1:T~ ^πψ（γ1:T |κ0:T），并获得相应的基本似然估计^πψ（κ0:n）′。4： 绘制u~ U（0，1）。Ifu<πψ（κ0:n）′πψ（κ0:n）[j- 1] ，（69）集γ1:T[j]=γ′1:Tandπψ（κ0:n）[j]=πψ（κ0:n）\'；否则设置γ1:T[j]=γ1:T[j- 1] 和^πψ（κ0:n）[j]=^πψ（κ0:n）[j- 1].5： 结束6：获得γ1:T[NP IM H]作为πψ（γ1:T |κ0:T）的样本。5.2.4从π（ψ|κ0:T，γ1:T，y1:T）取样我们假设（αx:xp，βx:xp，θ，σε，σγ，λ，λ，γ）的先验值为αx~ N（△uα，△σα），βx~ N（△uβ，△σβ），θ~ N（￠uθ，￠σθ），σε~ IG（△aε，△bε），（74a）σγ~ IG（▄aγ，▄bγ），λ~ N个[-1,1](~uλ, ~σλ), λ~ N（￠uλ，￠σλ），γ~ N（△uγ，△σγ），（74b），其中x=x，X和N[-1,1]表示带支撑的截断高斯分布[-1, 1].

假设所有参数的先验是独立的。密度π（ψ|κ0:T，γ1:T，y1:T）的样品通过以下后验取样获得：αx | y1:T，κ，γ，ψ-αx~ NДuασε+ДσαPt（yxt- βxκt）t▄σα+σε，▄σασεt▄σα+σε, （75）βx | y1:T，κ，γ，ψ-βx~ N∑βPt（yxt- αx）κt+￠uβσε￠σβPtκt+σε，￠σβσε￠σβPtκt+σε！，（76）θx | y1:T，κ，γ，ψ-θ~ Nuθ/￠σθ+Pt（κt- κt-1） /eγt1/~σθ+Pt1/eγt，1/~σθ+Pt1/eγt, （77）算法6πψ的自举滤波器（γ1:T |κ0:T）；参见附录B1：t=1时：从πψ（γ|γ）中画出γ（i）。设置▄w（i）=πψ（κ▄γ，κ），w（i）=▄w（i）/PNj=1▄w（j）。2： 对于t=2，T do3：从πψ（γT |γ（i）T）中画出γ（i）T-1） 设置γ（i）1:t=（γ（i）1:t-1，γ（i）t）；（70）4：评估▄w（i）t=▄w（i）t-1·πψ（κt |γ（i）t，κt-1); （71）5：归一化：w（i）t=~w（i）PNj=1 ~w（j）t；（72）6：EvaluateNeff=NXi=1（w（i）t）！-1.（73）7：如果Neff<0.8N，则从w（j）t，γ（j）1:tNj=1，设置w（i）t=N.8：结束9：获得^πψ（γ1:t |κ0:t）=PNi=1w（i）tδγ（i）1:t（γ1:t）。σε| y1:T，κ，γ，ψ-σε~ IG▄aε+pT，▄bε+TXt=1pXx=1（yxt- （αx+βxκt））！，（78）σγ| y1:T，κ，γ，ψ-σγ~ IG▄aγ+T，▄bγ+TXt=1（γT- λγt-1)!, （79）λ| y1:T，κ，γ，ψ-λ~ N个[-1,1]σγИuλ+~σλPtγt-1γtσγ+～σλPtγt-1、▄σλσγσγ+▄σλPtγt-1., （80）λ| y1:T，κ，γ，ψ-λ~ NσγИuλ+~σλPt（γt- λγt-1） σγ+T▄σλ，▄σλσγσγ+T▄σλ, （81）γ| y1:T，κ，γ，ψ-γ~ Nσγ~uγ+ ~σγλγσγ+ ~σγλ,~σγσγσγ+ ~σγλ. （82）后验分布的获得与第5.1.2.6节经验分析相似：丹麦男性人口在本节中，使用表2中总结的模型对丹麦死亡率数据进行了真实数据经验研究。第3节介绍了LC、LC-H和LCSV模型。虽然LC-H模型解决了观测方程中的异方差问题，但LCSV模型试图将随机波动性纳入状态动力学。