使用状态空间框架进行死亡率建模的统一方法：

然而，由于一些死亡率数据尚待观察，因此无法单独使用数据评估近年来埃博恩人群的预期寿命。因此，我们将重点放在预期寿命上，以便我们的预测可以与观察到的数据进行比较。图8显示了使用1835-2010年数据估计的所有模型在出生、65岁和85岁时的30年预期（周期）寿命。有趣的是，LC和LC-H模型的预测出生时预期寿命相似。与LC模型相比，它反映了预测LC-H模型产生的脱烃时间间隔对于某些年龄组更宽，而对于其他年龄组更窄的fa-ct。这些影响往往会相互抵消，因为将所有年龄组的死亡率汇总，形成出生时的预期寿命，从而得出出生时的预期寿命分布具有可比性。然而，这一解释不适用于65岁和85岁的预期寿命，因为只有65岁和85岁以上年龄组的预测死亡率才用于获得相应的预期寿命分布。由于与LC模型相比，LC-H模型生成的老年组死亡预测区间更窄，因此LC-H模型生成的65岁和85岁预期寿命分布预测区间明显小于LC模型。与LC模型相比，L CSV模型预测死亡率的更高可变性意味着预期寿命的预测间隔更短。与死亡率预测类似，LCSV-H模型在预期寿命预测方面既具有LC-H模型的特点，也具有LCSV模型的特点。由于我们使用固定死亡率而不是跳跃年（即2010年）的观察死亡率，因此预测死亡率存在跳跃偏差。

预测寿命人类死亡率数据库提供了简略的生命表，其中包含不同时期a（～x，n～x）的特定值。为了便于比较，我们使用了典型的假设，即a（≈x，nx）=0.5。对于特殊情况，不考虑年龄组（即x=x），一年死亡概率qx，t年定义为死亡人数与当年出生人口的比率。假设有一半的死亡发生在今年上半年，那么我们有qx，t：=Dx，t/（Ex，t+0.5 Dx，t）=^mx，t/（1+0.5^mx，t），其中Ex，是年中的人口。当考虑年龄组时，一般情况下的nx年死亡概率（91）可以类似地推导出来。65岁时的经验对这种跳跃效应偏见特别敏感。从1990年开始，65岁以上年龄组的死亡率突然下降，因此观察到65岁时的预期寿命增加。考虑到1835-1990年的校准期，跳变偏差明显较小，见图9。正如预期的那样，使用1950-1990年的mo r t alitydata估计的所有模型的出生时和65岁时预期寿命的预测分布是相似的（图10）。请注意，在这种情况下，除了85岁时的预期寿命外，95%可信区间捕获的样本数据很少。从1990年左右开始，丹麦死亡率数据中中年组的死亡率出现了显著下降趋势的突然变化，见图7，以及跳跃效应偏差。

我们将在下一节讨论线性趋势假设和跳跃效应偏差。6.4.3线性趋势假设和跳跃效应偏差在进行死亡率和预期寿命预测时，我们使用表2中总结的模型，其中LC-H、LCSV和LCSV-H模型是Lee-Carter模型的变体，其中假设了周期效应的线性趋势。然而，对于我们使用的丹麦男性死亡率数据，整个1835年至2010年期间的总体趋势是线性的，但如图6-7所示，在较短的1950年至2010年期间，情况可能并非如此。特别是，我们在图e 7中观察到，中年组的死亡率有明显的趋势变化。这种趋势的变化即使不是不可能，也很难从时间和幅度上进行预测。我们还对法国男性死亡率数据进行了分析，发现了类似的模式。因此，出于预测目的，有人可能认为专家意见将是预测死亡率的一个重要因素。即使仅使用数据无法合理准确地预测短期内死亡率趋势的任何变化，但如果死亡率的瞬时波动率是量化的，则可以检测到。例如，使用CSV-H模型，对数波动率γ是量化的，我们从图2中观察到，在经过几十年的下降后，γ在1990年左右开始增加。波动性水平的变化不仅影响了前面章节中讨论的预测区间，还表明死亡率的变化加剧了，人们应该注意趋势是否发生变化。我们还发现，第6.4.1-6.4.2节中讨论的跳跃效应偏差是预测死亡率和寿命预期的一个重要因素。

我们注意到，直接通过调整（88）-（90）来消除跳跃效应偏差，以便在预测期开始时使用实际死亡率，而不是固定的死亡率。我们在本文中没有提供相应的图，但我们可以通过简单地将预测分布移动，从而将预测平均值附加到估计期末的（样本中）数据，来设想结果。消除跳跃效应偏差将对死亡率预测的准确性产生重大影响，尤其是当数据显示出明显的趋势时。7结论性意见我们开发并提出了一个用于随机死亡率建模的综合状态空间框架。状态空间方法有两个关键优势。首先，它将死亡率的建模、估计和预测置于一个统一的框架内，与该领域的常见做法形成对比。第二，该方法允许对现实和复杂的死亡率模型进行估计和预测，这可能很难用其他方法处理。我们表明，文献中存在的许多流行的死亡模型都可以是不稳定空间形式。然后，我们提出了几类可分为线性高斯状态空间模型和非线性/非高斯状态空间模型的模型。我们的建议并不详尽，但旨在说明该方法的灵活性。特别是，我们将异方差性和随机波动性纳入死亡率模型，因为对死亡率数据的检查表明，在很长一段时间内，死亡风险的波动性在年龄和时间维度上不是恒定的。

此外，我们还为Lee-Carter型建模提出了一种替代的识别约束，该模型是为状态空间方法量身定制的。基于统计学文献中最近发展起来的边缘化似然的g r adient和Hessian，对随机死亡模型进行了Fr等式状态空间推断，并对其进行了解释。我们还利用一种现代的贝叶斯推理方法对状态空间建模，该建模依赖于PMCMC框架。特别是，我们开发了一个采样器，该采样器使用R ao黑井化K阿尔曼滤波器和粒子滤波器的组合，用于潜在状态过程的全后验条件，并结合静态模型参数的吉布斯采样步骤来估计本文提出的死亡率随机波动模型。利用丹麦男性人口的死亡率数据，我们评估了基于生存条件标准的扩展模型。研究发现，引入异方差是模型拟合的一个关键改进因素，同时考虑了模型的复杂性。随机波动率的合并明显提高了长期致命时间序列拟合的模型性能。长校准周期的估计结果支持随机波动性假设。我们表明，在巴依山环境下，可以在状态空间框架内直接进行预测。我们使用不同的校准周期来检验模型的预测特性。异方差性和随机波动性的加入极大地影响了死亡率和预期寿命分布的预测区间。根据完整的死亡率数据，讨论了死亡率建模中常见的线性趋势假设和跳跃效应偏差。状态空间框架提供了对实体建模非常重要的吸引人的特征。

本文开发和显示的方法和结果将对精算应用中的长寿风险管理具有重要意义，这是未来研究的主题。致谢本研究得到了CSIRO莫纳什养老金研究集群的支持，该集群由CSIRO、莫纳什大学、格里菲斯大学、威斯特瑙斯特拉利大学、华威大学和退休系统利益相关者共同合作，旨在为所有人带来更好的结果。这项研究也得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划（项目编号：DP160103489）的部分支持。附录A微分矩阵在对LC-H模型的基本估计中，参数向量用ψ=（αx:xp，βx:xp，σε，x:xp，θ，σω）表示，维数n=3p，其中p是考虑的年龄增长数。我们需要评估αψi，βψi，Σψi，θψi和σωψiin基于梯度的估计（第4.2节）。定义ψα：=ψ1:p-1=αx:xp（：=α-x） ，ψβ：=ψp:2p-2=βx:xp（：=β-x） ψσε：=ψ2p-1： 3p-2=σε，x:xp，ψθ：=ψ3p-1=θ，ψσω：=ψ3p=σω。那么我们有(α-x） j（ψα）i=δij=(β-x） j（ψβ）i，i，j=1，p- 1.（∑）jj（ψσε）i=δij，i，j=1，pθψθ= 1 =σωψσω，其中，如果j=i，δij=1，否则为零；∑是对角线σε的对角线矩阵，x:xp。请注意(α)（ψα）i=(β)（ψβ）i=0表示i=1，p- 1，其中α=αx:xp，β=βx:xp。附录B SMC方法综述SMC，也称为粒子滤波，可被视为卡尔曼滤波instate空间建模背景的推广。该方法基于重要抽样，已成为许多领域中基于抽样的重要工具（Doucet et al.（2001））。下面，我们简要回顾了使用LCSV模型（23b）-（23 c）的方法，作为导出基本粒子滤波算法的示例。

我们的目标密度是随机波动率状态的联合后验分布：π（γ1:t |κ0:t）（93），其中模型a的参数被假定为已知，并且为了便于旋转，在这里被抑制。为了应用重要性抽样，我们首先计算π（γ1:t |κ0:t）=π（κt |γ1:t，κ0:t-1） π（γ1:t |κ0:t-1） π（κt |κ0:t-1） =π（κt |γ1:t，κ0:t-1） π（γt |γ1:t-1，κ0:t-1） π（κt |κ0:t-1） π（γ1:t-1 |κ0:t-1） =π（κt |γt，κt-1） π（γt |γt-1） π（κt |κ0:t-1） π（γ1:t-1 |κ0:t-1). （94）假设重要性密度满足yg1:t（γ1:t |κ0:t）：=gt（γt |γ1:t-1，κ0:t）g1:t-1（γ1:t-1 |κ0:t-1） （95）重要性权重由▄wt=π（κt |γt，κt）给出-1） π（γt |γt-1） π（κt |κt-1） gt（γt |γ1:t-1，κ0:t）π（γ1:t-1 |κ0:t-1） g0:t-1（γ1:t-1 |κ0:t-1)∝π（κt |γt，κt-1） π（γt |γt-1） gt（γt |γ1:t-1，κ0:t）~wt-1： =^wtwt-1，（96），其中^wt称为增量重要性权重。然后，获得的非平均重要性权重为w（i）t：=~w（i）t/PNj=1w（j）t。总之，假设我们有N条路径（γ（i）1:t-1，w（i）t-1） Ni=1，近似密度π（γ1:t-1 |κ0:t-1） 时间t- 那么，f r om（95），时间t的第i个粒子路径由γ（i）1:t=（γ（i）1:t）给出-1，γ（i）t），其中γ（i）t从mgt中取样（γt |γ（i）1:t-1，κ0:t）。目标密度π（γ1:t |κ0:t）近似为（γ（i）1:t，w（i）t）Ni=1，其中从（96）中获得标准化重量w（i），并进行标准化。简并问题，即大多数icle路径可能具有可忽略的光线，可以通过重采样来处理。具体而言，我们定义了所谓的有效样本大小off：=NXi=1（w（i）t）！-1.（97）在每个时间t，如果Neffis小于某个阈值（例如，N的80%），则我们抽取样本（由N（i）表示，i=1，N） 从概率权重为w（i）t的多项式分布，i=1。

，N，并将粒子路径γ（i）1:tby替换为γ（N（i））1:t，并设置w（i）t=1/N。重采样步骤允许保持粒子路径与其重量成比例，t端丢弃重量可忽略的t软管。ReferencesAnalitis，A.、Katsouyanni，K.、Biggeri，A.、Baccini，M.、Forsberg，B.、Bisanti，L.、Kirchmayer，U.、Ballester，F.、Cadum，E.、Goodman，P.等人，2008年。寒冷天气对死亡率的影响：PHEWE项目中15个欧洲城市的结果。《美国流行病学杂志》168（12），1397–1408。Andreev，K.F.，2002年。1835年至2000年丹麦人口的演变。欧登塞大学出版社。Andrieu，C.，Doucet，A.，Holenstein，R.，2010年。粒子马尔可夫链蒙特卡罗方法。《皇家统计学会杂志》B辑72269–342。贝尔，W.R.，1997年。比较和评估用于预测特定年龄生育率和死亡率的时间序列方法。《政府统计杂志》13（3），279–303。Berg，A.，Meyer，R.，Yu，J.，2004年。比较随机波动率模型的偏差信息准则。《商业与经济统计杂志》22（1），107–120。Bi ffis，E.，2005年。动态死亡率和精算估值的有效流程。保险：数学与经济37（3），443–468。Brouhns，N.，Denuit，M.，Vermunt，J.K.，2002年。构建预测寿命表的一种对数双线性回归方法。保险：数学与经济学31373–393。凯恩斯，A.，布莱克，D.，多德，K.，2006年。具有参数不确定性的随机死亡率双因素模型：理论和校准。《风险与保险杂志》73（4），687–718。凯恩斯，A.，布莱克，D.，多德，K.，2008年。死亡风险的建模和管理：综述。《斯堪的纳维亚纪事杂志》2（3），79–113。凯恩斯，A.、布莱克，D.、多德，K.、考夫兰，G.、爱泼斯坦，D.、翁，A.、巴列维奇，I.、20 09。

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