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由 0，1 组成的随机序列。x  表示 1 的数目占总数的比例，求概率 P(x) 和序列长度 m 的关系。
（要满足：m 为无穷大时，P(1/2)=1 ， 即当序列长度为无穷大时，1 的数目占总数的比例为 1/2 ）
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关键词：随机序列 无穷大 高手 难题 求解

P(x) = C(mx, m) / (2 ^ m)，其中C(mx, m)是组合公式。

当x=1/2时，P(1/2) = m! / (2^m) / (m/2)! / (m/2)!。 可以用Stirling近似得到：ln[P(1/2)]=0，当m很大，
所以P(1/2)=1。

有关Stirling's Approximation的链接：
http://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html

hyu9910 发表于 2011-6-26 15:06
P(x) = C(mx, m) / (2 ^ m)，其中C(mx, m)是组合公式。

当x=1/2时，P(1/2) = m! / (2^m) / (m/2)! / (m/2)!。 可以用Stirling近似得到：ln[P(1/2)]=0，当m很大，
所以P(1/2)=1。

有关Stirling's Approximation的链接：
http://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html

我认为你的题目已经假定了序列中每个位置出现1或0的概率是1/2；所以这是我的解法的出发点。

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非常感谢 hyu9910

但是还有点问题，用你的没有经过近似的严格公式 P(1/2) = m! / (2^m) / (m/2)! / (m/2)! 来直接计算：

当 m=10，  P(1/2)= 24.61 %

当 m=100， P(1/2)=  7.96 %

当 m=1000， P(1/2)= 2.52 %

当 m=10000， P(1/2)= 0.80 %

m 再大，由于 pc 限制，就不太好计算了
（以上计算均在 windows 自带附件的计算器上进行）

从趋势看，m 越大，P(1/2) 越小。按这样的趋势， m 趋向无穷大时，P(1/2)  似乎收敛到 0 而不是 1 。

请 hyu9910 再帮忙看下，问题出在哪里？
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同学：你从概率论的大数定律来理解试试看：

http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers