非线性回归，U形曲线的拐点因为控制变量不同而答案不同，怎么办呢？

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研究x对y的影响，考虑到二者之间存在非线性关系，所以加入了x的平方项。发现，呈U形关系。但是，采用数学上的（-b/2a）求U形拐点，会因为控制变量的选择不同导致结果不同。请问该怎么解决的呢？非常谢谢！

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关键词：非线性回归 线性回归 控制变量 非线性 怎么办

不需要有什么解决方法，该是什么结果就什么结果。并且，由于模型不同，导致估计结果不同，这应该是非常正常不过的事。
假如模型不同，结果还必须一样，那还这么做干嘛？

在你的提问中真正该考虑的问题只有一个：为什么要选择不同的控制变量去做多个模型？

控制变量在理论上有一套纳入程序。即使没有用严格的思路，一般也会简单考虑“前人是否做出来这个变量有影响”、“理论上这个变量是否会产生影响”、“本次数据分析结果里与因变量相关是否显著”等，然后决定要纳入的控制变量。

而此时的你在不同的分析中，多次纳入不同的控制变量，更像是数据驱动的“探索”。如果是数据驱动做研究，那只需要选择你觉得最好的结果。




如果是希望通过更换不同的控制变量，并且目标变量的估计系数、显著性和解释等不变，来说明一些问题。那根据你的描述，你的想法可能失败了，这没有解决办法。

这是必然的，解释时，可以提到类似，根据不同回归设定 (加入不同控制变量)，转折点约在"什么值"与"什么值"范围内。

导致这个情况的原因是，X的部分影响因素被新加入的控制变量吸收了，即解释变量与控制变量之间相关。如果想要降低这种情况的影响，则要考虑利用工具变量来进行，可能会好一些。

认同三楼的说法，给出数学解释。
假设你的回归模型为y=ax1^2 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + c，理想状态下，对模型两边求偏导，∂y/∂x1 = 2ax1 + b1，令其等于0，求出拐点为x1=-b1/2a；但是实际情况很可能是x2、x3这些控制变量与x1有关，如果只加入x2作为控制变量，∂y/∂x1 = 2ax1 + b1 + b2 ∂x2/∂x1，拐点x1=-(b1+b2 ∂x2/∂x1)/2a，加入x3则是另外的情况，导致拐点位置随着不同控制变量加入而改变；
最后，这个现象感觉很正常，也算不上内生性问题，应该不用工具变量法吧，river老师说的指出类似范围即可。

不做稳健性检验？