相对论时间膨胀与双生子佯谬的解释

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                相对论时间膨胀与双生子佯谬的解释

                         于德浩

                        2023.9.9

最近在录制视频课《于德浩讲狭义相对论》，对洛伦兹时间膨胀的认识更进一层，可以去合理解释双生子佯谬问题了。

例题  地球与遥远的α（阿尔法）星球相距10光年。宇宙飞船的速度是0.995c，张宇驾驶飞船前往阿尔法星球，现在年龄是30岁。李地也是30岁，一直在地球上。请问，当飞船到达阿尔法星球时，张宇的实际年龄是多大？李地的年龄多大？

我们把地球-α星看成是静止系（实验室系），即K参照系；张宇及宇宙飞船是运动系K’系（质心系）。在地球看飞船（x，t），初态到末态是，（0,0）→（10，t）。根据，v=Δs/Δt，即0.995c=10光年/t，从而解得t=10.05年。所以，李地的年龄是30+10.05=40岁。

在飞船参照系看飞船（x’,t’），初态到末态是（0,0）→（x’，t’）。根据洛伦兹变换，x’=γ(x-β*t)。这里，β=v/c=0.995c/c=0.995；γ=（1-β^2）^(-1/2)=10.01。 所以，x’=10.01*(10-0.995*10.05)=0.0025=0。在飞船看飞船，当然是自身静止不动，即x’=0。再去求t’=γ(t-β*x)=10.01*(10.05-0.995*10)=1.001年。 这表明，在飞船上过了1年，所以张宇的年龄就是30+1.001=31岁；要比一直在地球的李地年轻9岁。

我们再换一种解法。由于运动是相对的，我们也可以认为，飞船是静止的，而庞大的地球-α星球参照系，在以-0.995c运动。现在地球-阿尔法星是运动系（质心系）K’参照系，宇宙飞船是K系，静止的实验室系。

在地球上看飞船的（x’,t’），初态到末态就是，（0,0）→（10，t’）。还是，vΔs’/Δt’，即0.995c=10光年/t’，得t’=10.05年。所以，李地年龄还是30+10.05=40岁。

在飞船系看飞船（x，t），初态到末态，（0,0）→（x，t）。根据洛伦兹变换公式，x=γ(x’+β*t’)。 注意这里的β=-0.995，故x=10.01*（10+(-0.995)*10.05）=0.0025=0。还是一样，在飞船系看飞船，当然还是一直静止不动。再求时间t=γ(t’+β*x’)=10.01*(10.05-0.995*10)=1.001年。故，张宇年龄是31岁。

上面这两种算法结果是一致的，飞船上的张宇是31岁，李地的年龄是40岁，张宇要比李地年轻9岁。 就是说，不论把飞船看成是运动的，还是把地球看成是运动的，定量计算的结果都表明，近光速旅行的宇航员要比地球人更年轻。

这里一定要注意两点，一是，务必同时同地去校对时间（时钟）；二是，每个惯性参照系是有边界的。地球-阿尔法星球的参照系很大很大，至少长达10光年。而宇宙飞船的边界很小，也就飞船的自身长度大约1000米，在这个具体案例中，飞船的长度是0米质点。在宇宙飞船之外的坐标是无意义的（无法直接得到的），因为没有系统的同一的运动速度v。

双生子佯谬是定性讨论。假设运动的时钟比静止的更慢，那么近光速旅行的宇航员就应该比地球人更年轻。可是，运动是相对的，也可以认为是宇航员静止，地球人在运动，那么地球人就应该比宇航员更年轻。这不是自相矛盾吗？

怎么样定量计算（错误的计算）才能让地球人更年轻呢？ 我们把地球看成是运动的，-0.995c相对于飞船运动，我们去观察地球。 在地球-阿尔法星的参照系看地球（x’,t’），初态到末态，（0,0）→（x’,t’）。 在宇宙飞船的参照系K看地球（x，t），初态到末态，（0,0）→（-10，t）。 先解出t=10光年/0.995c=10.05年。 于是，张宇的年龄就是30+10=40岁。再根据t’=γ(t-β*x)=10.01*(10.05-(-0.995)*(-10))=1.001年。得出李地年龄30+1=31岁。

上面的错误计算，是在飞船系，把地球的末态轻易设定为-10光年。因为，飞船的长度边界是很小的，大约1000米以内。而-10光年明显在飞船之外，这是未知的一个量。还有，在地球-阿尔法星球的参照系两者间距是10光年；但在飞船参照系，这就不应该是10光年了，这里应该有洛伦兹收缩才是。

我们看一下另外一种正确的解法。我们去观察α星球的初态末态。由于阿尔法星球与地球是同一个参照系，相对静止，所以它俩的时间是一样的。在末态，阿尔法星球与飞船汇合，也正是飞船的对应时间。还是把飞船看成是静止的K系，地球-α星球是庞然大物在向左运动，速度是-0.995c。

在飞船参照系看阿尔法星球（x，t）的初态到末态，（x1,t1）→（0，t2）。这里α星球的初态是未知的，因为在飞船参照系边界之外。 在广袤的地球参照系（x’,t’）看α星球，（10光年,0）→（10光年，t2’）。阿尔法星与地球，在地球参照系是相对静止的，一直不变的，就是10光年。所以，t2’=10光年/0.995c=10.05年。所以，李地的年龄就是30+10.05=40岁。

我们再根据洛伦兹变换，去求飞船系的α星球末态的空间-时间坐标（x2，t2）。即t2=γ(t2’+β*x2’)=10.01*（10.05+（-0.995）*10）=1.001年。即，张宇的年龄是30+1.001=31岁。我们也可以验证一下α星球的末态x2=0，因为与飞船汇合了。 即，x2=γ(x2’+β*t2’)=10.01*[10+(-0.995)*10.05]=0.0025=0。

宇宙飞船惯性参照系的是有长度边界的，我们不能直接给出阿尔法星球的初态，因为我们的尺子不够长。但，我们可以用洛伦兹变换去推算α星球的初态（x1，t1）。即，x1=γ(x1’+β*t1’)=10.01（10+(-0.995)*0）=100.1光年。还有，t1=γ(t1’+β*x1’)=10.01(0+(-0.995)*10 )=-99.5995年。在飞船参照系看阿尔法星球，是从初态（100.1光年，-99.5995年）→末态（0,1.001年）。在狭义相对论，两个参照系的速度是相对的。在地球-阿尔法星球参照系，看飞船的速度是0.995c；在飞船参照系，看阿尔法星球的速度就是，v=(x2-x1)/(t2-t1)=(0-100.1)光年/（1.001-（-99.5995））年=-0.995c。

在狭义相对论中，时间-空间是关联的，是一个四维坐标。当然，简单起见，我们一般设定y=y’=0，z=z’=0。一个x坐标，必然有一个对应的t坐标。只有两个点在同一个参照系，才能有相同的时间流逝。空谈时间流逝是无意义的，时间流逝一定要对应一个事件的初态到末态。我们在两个相对运动的参照系，研究观察同一个客观事件，才能比较及关联两个时空坐标。

两个相对运动的参照系，速度是相对的，平权的，大小相等，方向相反。但是，每个参照系有长度边界，是不一样的。比如，飞船的长度边界很小，就是飞船的固有长度，在1000米以内；而广袤的地球-阿尔法星球的参照系很大很大，至少10光年以上。本质上，是飞船在地球参照系里面运动，而地球在飞船参照系之外运动，所以它俩地位不是对等的。就是说，我们按照初态-末态的洛伦兹变换，在飞船飞往阿尔法星球或者说阿尔法星球飞往飞船这同一客观事件，总能得出飞船的时间流逝要更慢。即，长度边界小的参照系的时间流逝要更慢。

关于速度的测量，考虑参照系的长度边界。 我们只有一把1米长的尺子，怎么测量长度1000m的巨型轮船的速度？ 我们在轮船上刻一条线，记为初态x1=0米，t1=0秒。我们再看这条刻线走到末态x2=1米，t2=1秒。于是，我们计算出v=（1-0）/（1-0）=1米/秒。如果问，600秒后，轮船移动了多少米？我们计算出s=v*t=1*600=600米。这是，我们推算出来的，不是实际测量的，因为我们的尺子只有1米最大长度。

而如果，我们的尺子足够长，有几百公里长，那么我们就可以直接记录船尾的坐标就行了，在0时刻，船尾坐标是0米；在600秒时，船尾坐标是600米。所以，船移动了600米。当参照系的长度边界足够大时，我们既能直接测量位移，也能根据，位移=速度*时间，的公式去推算，两者可以相互验证。

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关键词：双生子 相对论 狭义相对论 宇宙飞船 直接测量