馬爾可夫性 vs 無記憶性

《概率論與數理統計 第五版》盛驟，謝式千，潘承毅編，高等教育出版社 第十三章說馬爾可夫鏈具有無記憶性，但未解釋什么是無記憶性。
Dimitri P. Bertsekas等著《概率導論 第2版》人民郵電出版社 第7章中解釋”無記憶性，也就是未來的狀態不依賴於過去的狀態“，馬爾可夫性不是無記憶性，伯努力過程和泊松過程才具有無記憶性。
如果按此解釋，盛驟等對馬爾可夫鏈的解釋就是錯誤的，大家對此有何看法？

victorbian 发表于 2024-5-25 18:29
《概率論與數理統計 第五版》盛驟，謝式千，潘承毅編，高等教育出版社 第十三章說馬爾可夫鏈具有無記憶性， ...

智谱清言：关于您提到的马尔可夫链与无记忆性的概念，这里涉及到随机过程理论中的一些细节。马尔可夫链是一种特殊的随机过程，它的特点是未来的状态仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。这种特性被称为马尔可夫性。换句话说，在马尔可夫链中，给定当前状态，未来状态的条件概率分布与过去状态无关。<br>
另一方面，无记忆性（也称为马尔可夫性）是指一个随机过程在给定当前状态的情况下，其未来状态与过去状态独立。这种性质在伯努利过程和泊松过程中体现得尤为明显，它们是马尔可夫链的特殊情况，但具有更强的无记忆性。<br>
从您提供的信息来看，《概率论与数理统计》一书中提到的马尔可夫链具有无记忆性的说法，可能是在强调马尔可夫链的马尔可夫性质，即未来状态仅依赖于当前状态。而《概率导论》一书中则更详细地区分了马尔可夫性与无记忆性，指出伯努利过程和泊松过程具有更强的无记忆性。<br>
总的来说，两本书在表述上的差异可能源于对马尔可夫链性质的强调点不同。马尔可夫链确实具有马尔可夫性，即未来状态与过去状态独立，但这种独立性与伯努利过程和泊松过程的强无记忆性相比，还是有所区别的。因此，从严格的数学定义来看，《概率论与数理统计》中的表述可能需要更详细的解释来避免混淆。<br>

victorbian 发表于 2024-5-25 18:29
《概率論與數理統計 第五版》盛驟，謝式千，潘承毅編，高等教育出版社 第十三章說馬爾可夫鏈具有無記憶性， ...

KIMI：在概率论和数理统计中，马尔可夫链和无记忆性是两个不同的概念，它们在某些方面有联系，但在定义上是不同的。
**马尔可夫链**（Markov chain）的定义是：一个随机过程，其中未来的状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。这被称为“马尔可夫性质”或“马尔可夫性”。具体来说，如果一个过程满足以下条件，那么它就是一个马尔可夫链：<br>
\\[ P(X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, X_{n-1} = x_{n-1}, ..., X_1 = x_1) = P(X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n) \\]<br>
对于所有的时间\\( n \\)和可能的状态\\( x_1, x_2, ..., x_{n+1} \\)。
**无记忆性**（memorylessness）通常是指一个过程，其中未来的状态不依赖于过去的状态，这在某些情况下可以与马尔可夫性相联系。例如，指数分布（用于泊松过程的间隔时间）具有无记忆性，这意味着如果一个随机事件发生了，那么它未来发生的概率与过去已经等待的时间无关。
然而，无记忆性并不总是意味着马尔可夫性。例如，指数分布具有无记忆性，但它不是一个马尔可夫链，因为它不涉及状态之间的转移。
在《概率論與數理統計 第五版》中提到的“马尔可夫链具有无记忆性”可能是指马尔可夫链的“无后效性”（future states are independent of past states given the present state），这是马尔可夫性质的一个特点。但是，如果这本书没有明确区分“无记忆性”和“马尔可夫性质”，那么这可能是一个概念上的混淆。
Dimitri P. Bertsekas等人在《概率導論 第2版》中对“无记忆性”的解释是正确的，他们指出了无记忆性与马尔可夫性的区别，并举例说明了哪些过程具有无记忆性。
因此，如果盛驟等人的书确实错误地将马尔可夫链描述为具有无记忆性，而没有进一步的解释或限定，那么这可能是一个错误或者至少是一个不准确的说法。正确的理解应该是马尔可夫链具有马尔可夫性质，而不是无记忆性。

victorbian 发表于 2024-5-25 18:29
《概率論與數理統計 第五版》盛驟，謝式千，潘承毅編，高等教育出版社 第十三章說馬爾可夫鏈具有無記憶性， ...

紫东太初：您提出的观点是正确的，马尔可夫链并不具有无记忆性，而是具有马尔可夫性质。马尔可夫性质指的是一个随机过程的未来状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。而无记忆性是指一个随机过程的未来状态只与最近的状态有关，而与更早的状态无关。因此，无记忆性是一种特殊的马尔可夫性质。
在《概率论与数理统计 第五版》中，盛骤等解释马尔可夫链具有无记忆性是不准确的。而Dimitri P. Bertsekas等人在《概率导论 第2版》中的解释是正确的，即伯努利过程和泊松过程才具有无记忆性。
因此，我们在解释随机过程时需要明确区分马尔可夫性质和无记忆性，以避免混淆和误解。&lt;/s&gt;

victorbian 发表于 2024-5-25 18:29
《概率論與數理統計 第五版》盛驟，謝式千，潘承毅編，高等教育出版社 第十三章說馬爾可夫鏈具有無記憶性， ...

海螺：马尔可夫链与泊松过程在无记忆性上的主要区别在于它们各自描述的随机过程的性质和适用场景。
**马尔可夫链**：<br>
- 马尔可夫链是一种随机过程，其中系统在任何时刻的状态仅依赖于前一个状态，而不依赖于之前的状态序列。这种性质称为马尔可夫性或无后效性。<br>
- 马尔可夫链的状态转移概率只依赖于当前状态，与过去的状态无关。这意味着，给定当前状态，未来状态的概率分布不依赖于到达当前状态的历史路径。<br>
- 马尔可夫链可以用来模拟具有状态转移特性的各种系统，如天气变化、股票价格波动等。
**泊松过程**：<br>
- 泊松过程是一种特殊的计数过程，它描述了在固定时间间隔内，事件发生次数的概率分布。<br>
- 泊松过程具有无记忆性，即在任意时刻，未来事件发生的概率只依赖于当前时刻的事件发生次数，而与之前发生事件的次数无关。<br>
- 泊松过程通常用于描述稀有事件的发生，如电话呼叫、顾客到达等。
总结来说，马尔可夫链的无记忆性体现在状态转移上，而泊松过程的无记忆性体现在事件发生次数上。马尔可夫链关注的是状态之间的转移，而泊松过程关注的是事件发生次数的统计特性。两者都是随机过程中的重要模型，但它们描述的随机现象和适用的场景有所不同。

victorbian 发表于 2024-5-25 18:29
《概率論與數理統計 第五版》盛驟，謝式千，潘承毅編，高等教育出版社 第十三章說馬爾可夫鏈具有無記憶性， ...

天工：### 马尔可夫性与无记念性的区别
马尔可夫性通常指的是马尔可夫过程的特性，即未来状态的概率分布仅取决于当前状态，而与过去状态无关。换句话说，马尔可夫性意味着过程具有无后效性。然而，无记念性是指在特定条件下，马尔可夫过程的未来状态概率分布不仅与当前状态有关，还与过去状态无关。具体来说，无记念性要求即使在过去某个时刻的状态已知的情况下，未来状态的概率分布仍然与过去状态无关。
### 马尔可夫性与无记念性的关系
马尔可夫性和无记念性虽然在某些情况下可以互换使用，但它们之间还是有所区别的。马尔可夫性强调的是当前状态对未来状态的影响，而无记念性则更强调过去状态对未来状态的影响。在一些情况下，马尔可夫性可能不足以描述一个过程的特性，这时就需要引入无记念性的概念。
### 结论
关于盛徵等人在《概率论與數理统計 第五版》中对马尔可夫性的描述是否正确，以及他们是否混淆了马尔可夫性和无记念性的概念，这需要结合上下文和具体内容来判断。如果他们仅仅提到了马尔可夫性，而没有提及无记念性，那么可能存在误解。但是，如果他们在描述马尔可夫性的同时，也提到了无记念性，并且正确区分了两者的关系，那么他们的描述就是准确的。由于我无法直接查阅该书籍，建议您查阅相关章节，以获取更准确的信息。

阅读得到: 楼主，你回看一下你贴的两段原文里边各自对无记忆性判断的文字描述是存在一点点差别的？

一文《概率論與數理統計 第五版》盛驟，謝式千，潘承毅編，高等教育出版社，第13章
二文Dimitri P. Bertsekas等著《概率導論 第2版》人民郵電出版社，第7章

第13章：过程未来所处状态的概率  与过去所处状态无关。
第7章：             未来所处的状态   与过去所处的状态无关。

在概率论和统计学中，马尔科夫性质（Markov property）指的是一个随机过程的未来状态只依赖于其当前状态，而与过去的历史无关。这通常表述为“在给定现在的情况下，未来的演变不依赖于系统如何到达当前状态的过程”。马尔科夫链是具有这种特性的随机过程的一个例子。

另一方面，无记忆性（Memorylessness）是指一个随机变量的条件概率分布与它的历史无关，只取决于其当前值。例如，伯努利过程和泊松过程确实具有无记忆性质，这意味着未来的事件发生与否不会因为过去已经发生的事件而改变概率。

盛骤、谢式千和潘承毅在《概率论与数理统计》中提到的马尔科夫链具有无记憶性可能是不准确的表述。按照Dimitri P. Bertsekas等著的《概率导论》中的定义，马尔科夫性质并不完全等同于无记忆性，尽管两者有一定的相似之处。因此，一些读者可能会对盛骤等人的解释提出疑问。正确的理解是，马尔科夫链符合马尔科夫性质，而伯努力过程和泊松过程则具有无记忆性。

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