2023年甘肃建筑职业技术学院数学单招试题测试版附答案解析

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2023年甘肃建筑数学单招试题
限时：60分钟　满分：78分
1．(满分13分)在如图所示的几何体中，四边形
ABCD
是等腰梯形，
AB∥CD，∠DAB＝60°，
FC⊥平面ABCD
，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：
BD⊥平面AED；(2)求二面角
F－BD－C的余弦值．
解：(1)证明：由于四边形
ABCD
是等腰梯形，
AB∥CD，∠DAB＝60°，所以
∠ADC＝∠BCD＝120°.
又由于CB＝CD，所以∠CDB＝30°，
因此∠ADB＝90°，
AD⊥BD，又由于AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD平面AED，所以BD⊥平面AED.(2)法一：连接AC，由(1)知
AD⊥BD，所以AC⊥BC.又由于
FC⊥平面ABCD
，因此CA，CB，CF两两垂直，
以C为坐标原点，分别以
CA，CB，CF所在的直线为
x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
F(0,0,1)，
<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>
＝(0，－1,1)．
设平面BDF的法向量为
m＝(x，y，z)，则m·<Object: word/ ...

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