线性代数应当这样讲

补充一句，这几天看了一下这两本书，一点建议。
关于几何意义那本，直觉是需要的。但是要想用通俗语言表述数学公理化的体系，很多地方是不准确的；
关于linear algebra，抽象推导偏多，但不得不承认，太赞了。线性空间论述详细，矩阵意义十分明了，建议有一定线性代数或者高等代数基础看了收获更大O(∩_∩)O~

谢谢lz

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收藏了哈

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很期待后续的

  我说过看了写点读书笔记，本想看完了写。怎奈我不是学数学的，进度很是缓慢，先写写吧，当然我肯定不是把书中you should verify的证明写出啦，那样太没意思了，主要谈谈自己感想。
  先说说我们学校的教学安排，大一高数上下，大二上概率论，下高代，相信很多本科经管都这样安排。结果，后来发现果断的坑爹啊，特别是高数讲到多元函数时候，果断只讲二元函数，多元几笔带过。然后记了那个让人头痛的二元函数极值条件。这就是不想上高代的后果，多元完全没法展开，而我们研究经济现象往往又是多元的！！！不仅如此，隐函数也无法展开，只能徘徊在二元。然而，当我们一年后上了高代，才发现原来多元函数极值居然用一个黑塞矩阵就搞定了，隐函数也牵涉到一个叫雅克比矩阵的东西。原来矩阵无处不在！！！
  线性空间呢？原来上高代，第一章行列式，第二章矩阵完全不知所云，第三章才晓得原来矩阵可以解线性方程组啊。然后后面突然跳出了线性空间，线性变换，最后特征值特征向量，除了会求几个特征值和特征向量以外，又不知所云了。整本书显得毫无逻辑！！！然后老师一天都在叨念线性空间很重要啊，比如我们的商品空间，未定权益空间等等，都可以在Rn上来研究，说了等于没说，因为他不知道我们大一上的微观有多么水
  所以，可以看出线代的确很基础啊，应用的确很广泛，顺便提一下，大三学计量，遇到多元回归老师又果断跳过鸟，因为矩阵这个东东对大多数童鞋来说还是很头痛的。。。
下面进入本书的一点感想，待续

进入第一章，没什么新的东西，无非是定义了vector space（向量空间），然后证明了一些基本的性质。值得注意的是这章中提到了空间的和（sum)和直和（direct sum)的概念，后面证明有比较多应用，类比集合的并集不难理解其含义
第二章，有限维向量空间，几个基本概念span张成，线性无关，基basis，维数dimension。
其中关于线性无关组扩充成基，和张成组简化成基的定理很是有趣，一般线性代数书上似乎没有。
其次，维数这个词我相信初学者很有误解，以为就是一个向量元素个数，这是极其错误的！！！看过书的童鞋都会知道第一章中有个list组的概念，而维数就是一个向量组中向量的长度length，而这个所谓的向量组就是该空间的一组基。
好了，进入最精彩的第三章。第三章linear map，即线性映射，以及性质与计算（加，数乘，乘积）。引入了零空间与值域的概念，证明了一个我们原来高代书上略过的定理。dimV=dim nullT+dim rangeT，其实也不那么难嘛。。。关键是后面线性映射的矩阵，用线性映射引入矩阵的确很好，对于那种横空出世讲矩阵的书来说的确高出一筹。关键是后面对于矩阵算法的定义，其目的就是要使得这样定义的结果符合线性映射和，数乘和乘积的定义。如此，矩阵那奇怪的乘法定义就不奇怪了！！！
可逆性也堪称一绝，从线性映射可逆性定义。不知道大家想过没有，为什么我们定义矩阵的逆只限制在N阶矩阵上，而不是M*N阶，可不可能有AB=BA=E对一般M*N矩阵成立？我的理解是否定的，虽然有所谓广义矩阵，那是另外的定义了。这本书上这样定义可逆性，从线性空间角度看，我们称一个从空间V到空间W的映射T是可逆的，如果存在从W到V的线性映射S，使得ST等于V中的恒等映射，而TS等于W中的恒等映射。而这时候V有可能是m维而W是n维的，所以线性映射的逆矩阵有可能不一定是N阶的。
但是，这样定义逆变换以后，V和W这两个空间恰好又是满足同构定义的！！！
而同构的线性空间恰好维数又相同，比如都为N
这样，线性映射的矩阵反应出来恰好是N阶矩阵！！！
后面章节待续......

此楼站位，待续 。。。。

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