在多部门一般均衡模型中,从公式(10)到公式(11)主要涉及对总需求函数Y进行全微分处理。这里我将尝试解释这一过程。
首先，假设总需求（或总收入）由三个部分组成：消费C、资本形成I和政府支出G。用数学表达式表示为：
\[ Y = C + I + G \] (公式1)
接下来,我们需要计算当劳动L、资本K以及技术参数\(\theta\)变化时对总需求Y的影响。
全微分是一个强大的工具，它帮助我们理解多变量函数如何响应输入变量的微小变化。对于公式(1)，当我们考虑L、K和\(\theta\)对Y产生影响的情况,可以写出Y关于这三个变量的全微分表达式：
\[ dY = \frac{\partial Y}{\partial L}dL + \frac{\partial Y}{\partial K}dK + \frac{\partial Y}{\partial \theta}d\theta \] (公式2)
根据文中描述，假设生产函数为柯布-道格拉斯形式，并考虑技能偏向型技术进步。此时,可以将总需求分解为由劳动、资本和技术参数引起的变化部分。
具体到论文中，(10)式表达了劳动力不充分就业状态下的总产出与消费支出、固定资本形成以及政府购买服务之间的关系：
\[ Y = C + I^s + \left(\frac{Y - W^s L^s}{\alpha}\right)^{\beta} \]
而(11)式的全微分版本为：
\[ dY = dC + dI^s + \beta \left[\left(\frac{Y-W^s L^s}{\alpha}\right)^{\beta-1}\right] \times \left(-\frac{dW^s L^s}{\alpha}+\frac{dY}{\alpha}\right) \]
在转换过程中，主要步骤如下：
1. 首先识别(10)式中的各项对Y的影响路径。这里总需求可以看作是消费C、技能偏向型资本形成\(I^s\)以及一个与劳动市场状况和剩余产出相关的项的组合。
2. 对上述表达式进行全微分处理，即分别计算dC, d\(I^s\), 和含有Y和W^s L^s变化的部分。这里的关键在于正确应用链式法则。
3. 在展开后的公式中，我们看到对劳动力工资和就业量（W^s L^s）的敏感性通过乘以总需求弹性系数(\( \beta\))得到体现，并且考虑了剩余产出Y本身的微小变动。
这个过程需要深入理解一般均衡模型框架下各经济变量间相互作用机制以及数学工具如全微分在推导经济关系时的应用。如果还有具体步骤或概念上的疑问，欢迎继续提问！
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