如何证明E(Bt^3)=0

jeffic 发表于 2012-4-6 14:10
好厉害哈~请教E(∫t*dBt)=0吗？,这是个ito积分的性质吗？不太懂了...怎么证明呢？

不敢不敢，不厉害也就是恰巧看到了，希望没有理解错了~
∫t*dBt是个Ito积分,而Ito积分本身是个martingale，而初值是0，所以Ito积分的期望值是零。证明写起来蛮繁琐的，其实就是用Ito积分的定义吧，切成一段一段小的，然后求和，我截了几张streve书上的证明128到129页的，希望有帮助。

Chemist_MZ 发表于 2012-4-6 14:34
不敢不敢，不厉害也就是恰巧看到了，希望没有理解错了~
∫t*dBt是个Ito积分,而Ito积分本身是个marting ...

十分感激！也就是说从鞅的角度来看ito积分，初值为0，则期望为0~

Chemist_MZ 发表于 2012-4-5 07:31
前面说得很对
还有一种方法对Bt^3用Ito公式，d(Bt^3)=3Bt^2dBt+3Bt(dBt)^2

我没有完全看懂，我理解理解

schwereburg 发表于 2012-4-6 07:56
谢谢！我明白了！

不客气  觉得有帮助就评个分吧

Chemist_MZ 发表于 2012-4-5 07:31
前面说得很对
还有一种方法对Bt^3用Ito公式，d(Bt^3)=3Bt^2dBt+3Bt(dBt)^2

很好！！！！

布朗运动（B_t）的三阶矩确实为零，这可以通过以下方式进行证明：

我们知道布朗运动具有以下性质：
1. B_0 = 0；
2. 对于任意s < t, 增量B_t - B_s服从N(0,t-s)的正态分布。

基于这些信息，我们可以计算E(B_t^3)。首先考虑E((B_t-B_s+B_s)^3)，对任意的0≤s<t。利用多项式的展开公式（即(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3），并利用期望线性和布朗运动独立增量的性质，可以得到：

E((B_t-B_s+B_s)^3) = E((B_t - B_s)^3) + 3E((B_t - B_s)^2(B_s)) + 3E((B_t - B_s)(B_s^2)) + E(B_s^3)

因为(B_t - B_s)独立于B_s，并且(B_t - B_s)的期望值是0（根据正态分布的性质），我们可以简化上面等式：

E((B_t-B_s+B_s)^3) = 0 + 3*var(B_t-B_s)*E(B_s) + 0 + E(B_s^3)

= 0 + 3*(t-s)*0 + E(B_s^3)
= E(B_s^3)

因为s是任意的，我们可以选择s->0得到：
E((B_t)^3)= lim (s -> 0+) E((B_t-B_s+B_s)^3) = lim(s -> 0+) E(B_s^3)
另一方面,当t=s时,B_t=B_s=0， 所以 E(B_s^3)=0。

由此我们可以得出结论，E(B_t^3) = 0。这是一个关于布朗运动的三阶矩的重要性质。希望这解答了你的疑问！

此文本由CAIE学术大模型生成，添加下方二维码，优先体验功能试用