如何证明E(Bt^3)=0

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关键词：如何

Bt是均值为0，方差为t的正态分布的随机变量，分布关于原点对称，所以Bt^3的期望等于0.

楼上正解。所有均值为零的正态分布的奇数次方的期待值都是0。想要硬算的话就用moment generation function求导

catlingh 发表于 2012-4-5 06:35
楼上正解。所有均值为零的正态分布的奇数次方的期待值都是0。想要硬算的话就用moment generation function求 ...

也可以用期望的定义很轻松的算出。因为B_t的密度是个偶函数，则B_t^3密度依然是偶函数。则求积分后当然为0

不懂诶，本科果然不行

前面说得很对
还有一种方法对Bt^3用Ito公式，d(Bt^3)=3Bt^2dBt+3Bt(dBt)^2

d(Bt^3)=3Bt^2dBt+3Btdt
取积分，Bt^3=∫3Bt^2dBt+∫3Btdt
两边取期望E(Bt^3)=E(∫3Bt^2dBt)+E(∫3Btdt)
右端第一项，由Ito积分性质，有dBt项，因为积分是一个线性算子，而是式子中只有dBt是随机的，而E(dBt)=0所以第一项等于零。

现在E(Bt^3)=E(∫3Btdt)=3E(∫Btdt)
Ito公式计算d(Bt*t)=tdBt+Btdt，积分，移项，取期望E(∫Btdt)=E(Bt*t)-E(∫t*dBt)=tE(Bt)-E(∫t*dBt),由布朗运动和Ito积分性质=0

所以E(Bt^3)=0

自己想出来的，不一定对。

lk1966mail 发表于 2012-4-5 06:59
也可以用期望的定义很轻松的算出。因为B_t的密度是个偶函数，则B_t^3密度依然是偶函数。则求积分后当然为 ...

是分成负无穷到0和0到正无穷，然后换一下积分限和正负号吗？

schwereburg 发表于 2012-4-5 07:32
是分成负无穷到0和0到正无穷，然后换一下积分限和正负号吗？

对的。不用换积分限。只是把积分分成2个区间，然后它们的积分值正好是相反数，所以相加后等于0.

甚至都不用具体算出值，直接在式子中就可以抵消的

lk1966mail 发表于 2012-4-5 07:40
对的。不用换积分限。只是把积分分成2个区间，然后它们的积分值正好是相反数，所以相加后等于0.

甚至都 ...

谢谢！我明白了！

Chemist_MZ 发表于 2012-4-5 07:31
前面说得很对
还有一种方法对Bt^3用Ito公式，d(Bt^3)=3Bt^2dBt+3Bt(dBt)^2

好厉害哈~请教E(∫t*dBt)=0吗？,这是个ito积分的性质吗？不太懂了...怎么证明呢？