Capital markets and portfolio theory

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Capital markets and portfolio theory
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Capital markets and portfolio theory

Roland Portait

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看这本书需要不少数学基础,请大家做好心理准备.但看完之后,心里对资本市场以及证券组合理论都有个大概得框架了.

目录:

Table of contents

Table of Contents
Table of Contents
PART I Standard (One Period) Portfolio Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Portfolio Choices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.A Framework and notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.A.i No Risk-free Asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.A.ii With Risk-free Asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.B Efficient portfolio in absence of a risk-free asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.B.i Efficiency criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.B.ii Efficient portfolio and risk averse investors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.B.iii Efficient set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.B.iv Two funds separation (Black) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.C Efficient portfolio with a risk-free asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.D HARA preferences and Cass-Stiglitz 2 fund separation . . . . . . . . . . . . . . 14
1.D.i HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.D.ii Cass and Stiglitz separation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Capital Market Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.A CAPM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.A.i The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.A.ii Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.A.iii CAPM as a Pricing and Equilibrium Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.A.iv Testing the CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.B Factor Models and APT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.B.i K-factor models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.B.ii APT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.B.iii Arbitrage and Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.B.iv References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
PART II Multiperiod Capital Market Theory : the
Probabilistic Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Framework. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.A Probability Space and Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.B Asset Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.B.i De?nitions and Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.C Portfolio Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.C.i Notation: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.C.ii Discrete Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.C.iii Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
i
Table of Contents
4 AoA, Attainability and Completeness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.A De?nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.B Propositions on AoA and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.B.i Correspondance between Q and Π : Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.B.ii Extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Alternative Speci?cations of Asset Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.A Ito Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.B Diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.C Diffusion state variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.D Theory in the Ito-Diffusion Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.D.i Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.D.ii Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.D.iii Redundancy and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.D.iv Criteria for Recognizing a Complete Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
PART III State Variables Models: the PDE Approach. . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Framework. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7 Discounting Under Uncertainty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.A Ito’s lemma and the Dynkin Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.B The Feynman-Kac Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8 The PDE Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.A Continuous Time APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.A.i Alternative decompositions of a return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.A.ii The APT Model (continuous time version). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.B One Factor Interest Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.C Discounting Under Uncertainty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9 Links Between Probabilistic and PDE Approaches . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.A Probability Changes and the Radon-Nikodym Derivative . . . . . . . . . . . 55
9.B Girsanov Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.C Risk Adjusted Drifts: Application of Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . . 56
PART IV The Numeraire Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
11 Numeraire and Probability Changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11.AFramework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11.A.i Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ii
Table of Contents
11.A.ii Numeraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11.BCorrespondence Between Numeraires and Martingale Probabilities . 62
11.B.i Numeraire → Martingale Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
11.B.ii Probability → Numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.CSummary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
12 The Numeraire (Growth Optimal) Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
12.ADe?nition and Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
12.A.i De?nition of the Numeraire (h,H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
12.A.ii Characterization and Composition of (h,H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
12.A.iii The Numeraire Portfolio and Radon-Nikodym Derivatives . . . . . . . . . . . . 69
12.BFirst Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
12.B.i CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
12.B.ii Valuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
PART V Continuous Time Portfolio Optimization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
13 Dynamic Consumption and Portfolio Choices (The Merton
Model) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13.AFramework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13.A.i The Capital Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13.A.ii The Investors (Consumers)’ Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
13.BThe Solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
13.B.i Sketch of the Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
13.B.ii Optimal portfolios and L+2 funds separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
13.B.iii Intertemporal CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
14 THE ”EQUIVALENT” STATIC PROBLEM (Cox-Huang,
Karatzas approach) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
14.ATransforming the dynamic into a static problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
14.A.i The pure portfolio problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
14.A.ii The consumption-portfolio problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
14.BThe solution in the case of complete markets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
14.B.i Solution of the pure portfolio problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
14.B.ii Examples of speci?c utility functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
14.B.iii Solution of the consumption-portfolio problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
14.B.iv General method for obtaining the optimal strategy x＊＊ . . . . . . . . . . . . . . . 87
14.CEquilibrium: the consumption based CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
PART VI STRATEGIC ASSET ALLOCATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
15 The problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
16 The optimal terminal wealth in the CRRA, mean-varianceand HARA cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
16.A Optimal wealth and strong 2 fund separation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
16.B The minimum norm return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
17 Optimal dynamic strategies for HARA utilities in two cases . . . . 93
17.A The GBM case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
17.B Vasicek stochastic rates with stock trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
18 Assessing the theoretical grounds of the popular advice . . . . . . . . . 94
18.AThe bond/stock allocation puzzle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
18.BThe conventional wisdom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
REFERENCES

Chapter 1 Portfolio Choices
Chapter 1
Portfolio Choices
1.A Framework and notations
In all the following we consider a single period or time interval (0 1), hence two
instants t = 0 and t = 1
Consider an asset whose price is S(t) (no dividends or dividends reinvested).
The return of this asset between two points in time (t = 0, 1) is:
R =
S (1) - S (0)
S (0)
We now consider the case of a portfolio. and distinguish the case where a
riskless asset does not exist from the case where a risk free asset is traded.
1.A.i No Risk-free Asset
There are N tradable risky assets noted i = 1, ...,N :
· The price of asset i is Si(t), t = 0, 1.
· The return of asset i is
Ri =
Si (1) - Si (0)
Si (0)
2

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