考研数学北京航天航空大学线性代数正定二次型省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

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第三节 正定二次型
  对二次型f (x1, x2, …, xn)经过满秩变换后可化为规范形
  为讨论其性质, 在应用中对二次型进行以下分类.
定义 设f (x1, x2, …, xn)=xAx为实二次型, 若对于任意非零实向量x=(x1, x2, …, xn), 都有
f=xAx>0,
称f为正定二次型, 对称矩阵A称为
正定矩阵.
f=xAx<0,
称f为负定二次型, 对称矩阵A称为
负定矩阵.
f=xAx0,
称f为半正定二次型, A为半正定矩阵.
f=xAx0,
称f为半负定二次型, A为半负定矩阵.
  若存在非零向量x1, x2, 使得f=x1Ax1>0, f=x2Ax2<0, 称f为不定二次型.
例1 设A为mn实矩阵, 证实
(1) AA(或AA)是实对称矩阵.
(2) 二次型f = x(AA)x为半正定二次型.
(3) 当R(A)=n时, f = x(AA)x为正定二次型.
证实
(1) 显然.
(2) x0,
有
Ax=0或Ax 0,
于是
f=x(AA)x=(Ax)Ax0,
所以f半正定.
(3) 当R(A ...

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