Time-frequency_and_time-scale_methods

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作者=Jeffrey_A._Hogan,_Joseph_D._Lakey
标题=Time-frequency_and_time-scale_methods__adaptive_decompositions,_uncertainty_principles,_and_sampling
出版社及出版时间=Birkh_user_Boston(2004)
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关键词：Frequency Methods Method scale time 出版社

1 Wavelets: Basic properties, parameterizations and
sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Scaling and multiresolution analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Orthonormal wavelet bases for L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Subband coding and FWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Biorthogonal multiresolution analyses . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.4 Regularity for scaling distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 A construction of quadrature mirror ¯lters . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1 The Zak transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.2 Scaling functions in the Zak domain . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.3 QMF construction algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.4 Constraints on samples imposed by QMFs . . . . . . . . . . . . 28
1.2.5 Parameterization of four-coe±cient systems . . . . . . . . . . . 28
1.2.6 Cardinal scaling functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3 Computing the scaling function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Derivatives and multiwavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1 Wavelets and derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.1 Nonstandard wavelet representation of d=dx . . . . . . . . . . 42
2.1.2 Di®erentiation and commutation of MRAs . . . . . . . . . . . . 44
2.1.3 Wavelet characterization of Sobolev norms . . . . . . . . . . . . 45
2.1.4 Sobolev estimates for pointwise products . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Piecewise polynomial multiwavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1 Multiwavelet introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2 Alpert's piecewise polynomial wavelets . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.3 Interpolating scaling functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.4 Multiscaling properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Multiwavelets based on fractal interpolation vectors . . . . . . . . . . 58

2.3.1 Fractal interpolation functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.2 DGHM multiwavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.3 Multiwavelets and Sobolev spaces on R+ . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.4 Strela's two-scale transform and commutation . . . . . . . . . 63
2.3.5 Smoothing and roughening DGHM scaling ¯lters . . . . . . 67
2.3.6 Biorthogonal multiwavelets on H1
0 (R+) . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3 Sampling in Fourier and wavelet analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1 Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.1 The frame algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.2 Frame acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2 Sampling of trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.1 Uniform sampling and the fast Fourier transform . . . . . . 101
3.2.2 Nonuniform (fast) Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2.3 Algorithms based on Taylor polynomials . . . . . . . . . . . . . 103
3.2.4 The Dutt{Rokhlin algorithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2.5 The inverse transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.6 Nonuniform sampling and frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3 Sampling in the Paley{Wiener spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.1 Sampling sets for the Paley{Wiener spaces . . . . . . . . . . . 112
3.3.2 Iterative reconstructions in PW­ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3.3 Prolate spheroidal wavefunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.4 The ­T theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.5 Quadrature for Paley{Wiener spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.4 Sampling in phase space: the short-time Fourier transform . . . . 131
3.4.1 Regular Gabor frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.4.2 Irregular Gabor frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.5 Sampling in principal shift-invariant spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.5.1 Iterative reconstruction in PSI spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.5.2 Periodic nonuniform sampling in PSI spaces . . . . . . . . . . 147
3.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4 Bases for time{frequency analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.1 Wilson bases and the Zak transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.2 Local trigonometric bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.2.1 Smooth localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.2.2 Locally bandlimited functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.3 Wavelet packet bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.3.1 High- and low-pass ¯lters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.3.2 Subspaces and trees; splitting criteria . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.4 Information cells and tilings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.5 The discrete Walsh model phase plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.5.1 Subspaces spanned by ¯nite sets of tiles . . . . . . . . . . . . . . 183
4.5.2 Tilings and the notion of best basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.6 Phase planes for ¯nite Abelian groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5 Fourier uncertainty principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.1 Fourier support properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.1.1 Benedicks' theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.1.2 Consequences of support properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.1.3 Uncertainty and missing data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.1.4 Nazarov's theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.2 Growth properties and Fourier uniqueness criteria . . . . . . . . . . 196
5.2.1 Hardy's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.2.2 Beurling's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2.3 Gelfand{Shilov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.3 Finite uncertainty principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.4 Symmetry and sharp inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.4.1 The sharp Hausdor®{Young inequality . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.4.2 Entropy and logarithmic Sobolev inequalities . . . . . . . . . 208
5.4.3 Other sharp inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4.4 Pitt's inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.4.5 Rearrangements and spectral concentration . . . . . . . . . . . 212
5.5 Uncertainty inequalities in phase space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.5.1 A Heisenberg inequality for the Wigner distribution . . . 213
5.5.2 Wigner consequences of Hausdor®{Young . . . . . . . . . . . . 214
5.5.3 Benedicks' theorem for the Wigner distribution . . . . . . . 215
5.5.4 Hardy's theorem for S(f; g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.5.5 Heisenberg's inequality and phase plane rotations . . . . . . 216
5.5.6 DeBruijn's inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.6 Weighted Fourier inequalities and uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.7 Embeddings, uncertainty and Poisson summation . . . . . . . . . . . 225
5.7.1 Weil's approach to PSF and a generalized version . . . . . 225
5.7.2 Some necessary and su±cient conditions for PSF . . . . . . 228
5.7.3 M1 and PSF in particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.7.4 More counterexamples to PSF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.7.5 Proof of the embedding theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.8 Time{scale uncertainty principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6 Function spaces and operator theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.1 Besov spaces: history and wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.2 Unconditional bases as best bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.3 Best nonlinear approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.3.1 Nonlinear wavelet approximation in Besov norms . . . . . . 252
6.3.2 Temlyakov's theorem and wavelet approximation . . . . . . 253
6.4 Nonlinear approximation, wavelets and trees . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.5 Wavelets and coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.5.1 Kolmogorov entropy and coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.5.2 Encoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.5.3 Decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.5.4 Performance in Besov balls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.6 Boundedness and compression of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.6.1 Schur's lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.6.2 Schur's lemma and wavelet matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.6.3 Wavelet compression of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.7 Boundedness and compression of singular integrals . . . . . . . . . . . 265
6.7.1 Haar wavelets and the Hilbert transform . . . . . . . . . . . . . 265
6.7.2 Compression of Calder¶on{Zygmund operators . . . . . . . . . 268
6.8 Schur's lemma and symbol classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.8.1 Pseudodi®erential operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.8.2 Symbol conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.8.3 Estimates for singular values and compression of
compact pseudodi®erential operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.8.4 Exotic symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
6.9 Dyadic structure and NWO sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7 Uncertainty principles in mathematical physics . . . . . . . . . . . 285
7.1 Wave mechanics and uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
7.1.1 Spectral theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
7.1.2 Measuring position and momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.1.3 Simultaneous observability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
7.1.4 Physical considerations of indeterminacy . . . . . . . . . . . . . 293
7.2 Eigenvalue estimates for SchrÄodinger operators . . . . . . . . . . . . . 295
7.2.1 Stability of the hydrogen atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.2.2 Volume counting and its de¯ciencies . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
7.2.3 Fe®erman{Phong eigenvalue estimates . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.2.4 Thomas{Fermi theory and stability of matter . . . . . . . . . 306
7.2.5 Sharpening the Fe®erman{Phong condition . . . . . . . . . . 309
7.2.6 NWO eigenvalue estimates for SchrÄodinger operators . . 312
7.2.7 Eigenfunction estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
7.3 More on decay of wavelet coe±cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7.3.1 Bounded variation and weak-`1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7.3.2 Wavelets and an improved Sobolev inequality . . . . . . . . . 322
7.4 More on the spectrum of SchrÄodinger operators . . . . . . . . . . . . . 322
7.4.1 WKB approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.4.2 Turning points and connection formulas . . . . . . . . . . . . . . 323
7.4.3 Spectral estimates for SchrÄodinger operators with
slowly decaying potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.4.4 Adapted martingales and pointwise bounds . . . . . . . . . . . 328
7.4.5 The endpoint p = 2 and Carleson-type operators . . . . . . 331
7.5 Walsh models revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

7.5.1 A Walsh model for the Carleson operator . . . . . . . . . . . . . 334
7.5.2 A Walsh quartile operator and the BHT. . . . . . . . . . . . . . 335
7.5.3 Estimates for the Walsh bilinear Hilbert transform . . . . 337
7.6 WKB and WAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
7.6.1 Cochlear modelling: early history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
7.6.2 The cochlear compromise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
7.6.3 Cochlear processing and WAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
7.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
A Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
A.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
A.2 Miscellany from real and harmonic analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
A.3 Miscellany from functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385