有奖求助

恋月风影 发表于 2012-10-5 22:53
亏损和盈利是百分百，你没有看清楚

是指每次投资都是100%，你没看明白！

我的回答分2部分：第1部分，说明我认为合适的解法，第2部分，蒙特卡洛模拟使用说明。如对题意
有误解或计算有错误，望指正。

-------- 第1部分，说明我认为合适的解法：

设这个要求的比例为R，显然有0<=R<=1. 设第i次bet后，的资产余额=A(i), 由题意A(0)=100，如果我没理解错，题目要求是：求R使A(10000)的期望值最大(每次赢的概率是p=60%)。

解法如下：分2种情况讨论,情况1： 0<=R<1, 情况2：R=1.

情况1： R 处于区间[0，1）内，即0<=R<1.

bet 1次后，资产余额即随机变量A(1)取值是：赢（概率为60%）了则：A(1)=A(0)+A(0)*R=A(0)*(1+R) 或 输（概率为40%）A(1)=A(0)-A(0)*R=A(0)*(1-R) ，注意R<1，所以bet多少次都不会输完。

以此类推，bet n次后,如果赢了w次（即输n-w次）的资产余额即随机变量A(n)取值是=A(0)*((1+R)^w)*((1-R)^(n-w))，而刚好赢w次（即输n-w次）的概率是：C(n,w)*(p^w)*(1-p)^(n-w), 其中
p=60%, C(n,w)是组合即C(n,w)=n!/w!/(n-w)! (!为阶乘符号）。

于是，随机变量A(n)的期望就是：

E(A(n)) = SUM [C(n,w)*(p^w)*(1-p)^(n-w) * A(0)*((1+R)^w)*((1-R)^(n-w))], SUM是指从w=0到
w=n求和。

求和不难，即上式= A(0)* SUM [C(n,w)*  ((1+R)*p)^w  * ((1-p)*(1-R))^(n-w) ]，注意SUM内的正好是二项式 ((1+R)*p + (1-p)*(1-R))^n 的展开式, 所以
上式= A(0)*((1+R)*p + (1-p)*(1-R))^n =  A(0)*(p+R*p +1-p-R+p*R))^n=A(0)*(1+(2p-1)*R))^n

由于由题意A(0)=100,p=60%, 上式=100*(1+0.2*R))^n，bet n次后，资产余额A(n)的期望=100*(1+0.2*R))^n. （注意：是R的递增函数）


情况2： R=1，显然bet n次后，只有全赢资产余额才>0，n次中只要有1次输，就资产余额=0.（假设当资产余额=0后就不再bet下去了，对以后的n, A(n)都=0）那么，资产余额A(n)的期望=全赢概率×全赢后资产余额+0= p^n * A(0) * (1+R)^n +0 =A(0)*(p+pR)^n, 由题意A(0)=100,p=60%, 而情况2时R=1, 资产余额A(n)的期望=100*(1.2^n)

综合情况1和2，总有，资产余额A(n)的期望=100*(1+0.2*R))^n （即情况1的公式也适用于情况2，因为情况2中当R=1时，也恰好=100*(1+0.2*R))^n ）

回顾题目要求是：求R使A(10000)的期望值最大，那么要使A(10000)的期望值即 100*(1+0.2*R))
^10000最大，显然R越大越好，所以R=1。


-------- 第2部分，蒙特卡洛模拟使用说明：

我是个蒙特卡洛模拟法(以下简称MC)的铁杆粉丝，因为它思路很简单，但能解决其他方法无法
解决的难题。但是，此处，我觉得（就算我是MC的铁杆粉丝），如果，题意是如我所想的那样，那么MC很不适合解此题，因为：

1. 此题不是一般数值计算，是求数值计算中参数使数值计算的结果取最大值。如果你用MC法，大约
是，随机找个R，由这个R算出很多个（如100万个）资产余额A(10000)，求出这么多A(10000)的算术平均，得到这个R下的资产余额期望值的估计值（注意是估计值）。然后再找另一个R，得到第2个R下的资产余额期望值的估计值。。。。从中挑出使资产余额A(10000)期望值的估计值最大的R，(高级一点的挑法是，考虑用simulated annealing方法)。

每个R对应一个估计值，由于是估计值，就不精确，就不能准确反映资产余额的期望值是R的递增函数（见第1部分）的情况，那么，从中挑出使资产余额A(10000)期望值的估计值最大的R,多半也不会是R=1。

2. 就算是用上述方法计算资产余额期望值的估计值，那么这估计误差会很大，比如R=1，只有全赢资产余额才>0，n次中只要有1次输，就资产余额=0，而10000次全赢的概率是多少？是
p^n=0.6^10000=10^-2200，小到比中彩票还要难得多很多，用MC来模拟100万个A(10000)，几乎可以肯定这100万个A(10000)全是0，那么会得出资产余额A(10000)期望值的估计值是0的假象。因为100万次模拟不够，10^2200次模拟才可能会有非0的结果。这主要是因为一般MC方法很难对付很重要的极小概率事件。当然，可用importance sampling等方法改进一般的MC，有这时间改进MC，还不如用第1部分的解法直接（而且改进MC也得用到第1部分的解法才行）。

所以，很不建议使用MC。

如对题意有误解或计算有错误，望指正。

看了Chemist_MZ，我们对题意的理解是不同的，看来题意不是很清楚。从答案看起来，Chemist_MZ的理解可能比我的理解似乎更合理些。

同意楼上，我也觉得不用MC，我的代码可能没有求期望，楼主可以自己加上去，但是基本思路就是那样的~

Chemist_MZ 发表于 2012-10-6 02:53
写好了，我是用matlab的，不知道是不是理解了楼主的意思。意思是说用100的本金做10000次赌博，每期输赢都 ...

为什么我下载不下来呢

Chemist_MZ 发表于 2012-10-6 22:44
改了一下，加了个期望的

我下载不下来，怎么回事撒

zkymath 发表于 2012-10-6 09:00
是指每次投资都是100%，你没看明白！

神马啊

TaskShare 发表于 2012-10-6 17:29
我的回答分2部分：第1部分，说明我认为合适的解法，第2部分，蒙特卡洛模拟使用说明。如对题意
有误解或计算 ...

我仔细研究研究，谢谢帮助啊

上面的回答也给分吧