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雷达卡
1 引言
随着5G通信、自动驾驶以及国防隐身技术的迅速发展，对电磁仿真在精度与几何适应性方面的要求日益提高。在此背景下，时域有限差分法（FDTD）和时域间断伽辽金法（DGTD）作为当前主流的两类时域数值方法，展现出各自独特的技术路径与应用优势。FDTD以其算法简洁、计算高效而长期主导工业界仿真流程；而DGTD凭借高阶精度与复杂结构建模能力，在科研前沿和高端工程领域逐渐崭露头角。本文将从数学基础、计算性能及实际应用场景等多个维度系统对比这两种方法，并探讨其未来发展方向。
2 算法原理
2.1 FDTD 方法概述
FDTD通过Yee网格对麦克斯韦方程组进行时空离散，采用电场与磁场交替更新的方式实现电磁波传播过程的模拟。该方法的核心特征包括：
- 结构化网格：使用规则六面体网格，便于编程实现和内存管理，但在处理曲面或不规则边界时易产生“阶梯误差”，影响几何拟合精度。
- 显式时间推进机制：无需求解全局线性系统，每一步仅涉及邻近节点的简单运算，具备天然并行性，适合GPU加速，适用于大规模瞬态问题。
- 低阶精度限制：由于采用中心差分离散，存在明显的数值色散现象。在宽带或多周期仿真中，这种误差会累积，可能导致谐振频率偏移或远场方向图失真。
2.2 DGTD 方法特点
DGTD结合了有限元法（FEM）的灵活性与间断伽辽金（DG）格式的稳定性，通过对麦克斯韦方程在非结构化网格上进行高阶离散来提升仿真质量。其主要优势体现在：
- 非结构化网格支持：可采用四面体、六面体或混合单元灵活贴合任意复杂几何形状，如飞机外形、纳米光子器件等，显著减少几何逼近误差。
- 高阶多项式基函数：利用p≥3阶的多项式展开场量，可在较粗网格下实现更高精度，相位误差相比FDTD降低30%~50%，收敛速度更快。
- 高效的并行架构：各单元独立计算局部残差，配合显式时间积分策略，避免全局矩阵求解瓶颈，易于实现MPI分布式计算与GPU并行加速。
3 算法对比分析
3.1 共同特性
FDTD与DGTD均为直接求解时域麦克斯韦方程的全波仿真方法，能够动态捕捉电磁场随时间演化的全过程。两者均适用于宽频带信号分析，可用于脉冲响应、散射特性计算以及多物理场耦合场景（如热-电-力耦合）。此外，二者均可集成于高性能计算平台，支持MPI集群与GPU加速，满足现代高频电磁系统（如毫米波天线阵列、雷达目标识别）的大规模仿真需求。尽管共享相似的应用目标，但因底层离散策略不同，它们在精度控制、几何适应性和资源消耗等方面表现出显著差异。
3.2 差异性分析
3.2.1 网格灵活性与几何适应性
FDTD依赖于结构化Yee网格，在规则结构（如矩形波导、平面微带天线）中具有极高的计算效率。然而，面对曲面、倾斜边界或微纳尺度结构时，必须采用“阶梯近似”来逼近真实几何，从而引入不可忽视的建模误差。例如，在双直波导环形谐振器的建模中（见图1），Yee网格无法准确描述圆形边界，导致电磁场分布发生畸变。
相比之下，DGTD采用非结构化网格，可自由生成四面体或其他类型单元以精确贴合任意表面。这一特性使其在航空器雷达散射截面（RCS）仿真或纳米光子学结构（如亚波长光栅、等离子体共振腔）中表现优异。更重要的是，DGTD支持h-p自适应策略——即在场强梯度大的区域自动加密网格（h-refinement）或提升基函数阶数（p-refinement），实现精度与效率的动态平衡。
3.2.2 数值精度与误差控制
FDTD属于典型的低阶方法，其空间精度通常为二阶。为了抑制数值色散，尤其在高频段（如毫米波频段），需将网格尺寸细化至λ/20甚至更小，极大增加未知数数量和计算开销。即便如此，长时间仿真仍可能出现相位漂移或谐振峰偏移等问题。
DGTD则通过高阶多项式插值实现“超收敛”行为。即使使用相对粗糙的网格，也能获得优于FDTD细网格的精度水平。例如，Lumerical提供的案例显示，在米氏散射问题中，采用p=3基函数的DGTD方法可将相位误差降低30%–50%，且收敛曲线更陡峭。同时，DGTD通过引入数值通量项处理单元界面处的场跳跃，有效缓解材料突变界面上的反射与耗散误差，特别适合多介质共存或强场集中区域的仿真。
如下图所示，《Simulation of optical resonators using DGTD and FDTD》一文中对环形谐振器进行了对比测试。结果显示，DGTD仿真结果与理论参考高度一致，而FDTD则需要极高密度的网格才能接近同等精度，带来更高的运行成本。
3.2.3 计算效率与适用场景
FDTD的最大优势在于其极低的单步计算复杂度。由于每个时间步仅涉及周围几个网格点的代数操作，整体计算速度快，尤其适合均匀介质中的大范围传播问题。配合GPU并行化后，可实现每秒百万级时间步的推进速度，广泛应用于快速参数扫描、天线匹配优化或滤波器响应分析等迭代密集型任务。
DGTD的单步计算复杂度明显高于FDTD。每个单元在计算过程中需要求解高阶基函数的内积以及通量积分，同时时间推进依赖于多级Runge-Kutta方法，这使得其单步运算耗时比FDTD高出2至5倍。然而，DGTD具备显著的
天然并行性
——场更新仅需相邻单元的通量信息，无需进行全局矩阵求解，因此在大规模分布式计算环境（如千核级MPI集群）中，DGTD的并行效率可超过90%，从而有效弥补了其单步耗时较长的不足。
3.2.4 技术生态与工业落地挑战
FDTD的最大优势在于其
成熟工业生态
该算法已集成于主流电磁仿真软件系统超过二十年，形成了稳定且广泛的应用体系。此外，由于其算法逻辑清晰、结构简单，易于与机器学习技术融合。例如，可通过神经网络预测最优网格划分参数，从而进一步缩短设计周期，提升仿真效率。
相比之下，DGTD在工业应用方面仍面临
生态短板
尽管Lumerical和COMSOL已引入DGTD模块，但功能尚不完善。例如，Lumerical的DGTD版本尚未支持GPU加速，光源类型也较为有限；而COMSOL并未设置独立的DGTD算法接口，相关功能分散在声学、压电传感及波动光学等模块中。其官网发布的DGTD相关案例主要集中于声学与多物理场耦合仿真，缺乏针对电磁学领域的典型应用示例。
3.3 总结
综合多维度对比分析可以看出，FDTD与DGTD之间并非简单的替代关系，而是根据应用场景形成互补的技术路线。在可预见的未来，二者将共同构成时域电磁仿真的核心技术支撑，推动从毫米波通信到量子器件等全频谱领域的持续创新。
4 市场前景与未来趋势
4.1 市场概况
据MarketsandMarkets、Grand View Research、Allied Market Research等权威市场研究机构发布的数据显示，2022年全球电磁仿真市场规模约为50亿美元，并预计将以年均7%至10%的速度增长，到2030年有望达到100亿美元。
FDTD作为最早发展的时域电磁仿真方法之一，在光子学、微波工程、天线设计等领域占据主导地位。2022年，FDTD相关应用约占全球电磁仿真市场份额的20%至30%。得益于其成熟的计算框架和高效的GPU加速能力，FDTD在工业界保持稳步发展态势。
DGTD起步较晚，但凭借其高阶精度和对非结构化网格的良好适应性，已在航空航天、国防科技、纳米光子学等高端领域逐步展现潜力。目前DGTD市场份额约为1%，但市场预测指出，到2030年其份额有望上升至5%至7%。
4.2 未来发展趋势
随着5G/6G通信、毫米波雷达、先进光子器件以及复杂电磁环境建模需求的增长，对高精度、高效率仿真算法的需求日益迫切。未来，FDTD与DGTD将在不同应用场景中发挥各自优势。
FDTD：未来的研究方向包括高阶格式改进、GPU深度优化以及与人工智能结合以实现智能参数调优。该方法仍将在光子学、天线设计等传统优势领域保持重要地位。
DGTD：受益于计算硬件的持续进步，特别是在高性能计算平台的支持下，DGTD将在航空航天、国防电子、纳米光子器件等高端应用领域获得更广泛的推广和更高的市场接受度。
5 结论
总体来看，FDTD作为一种成熟稳定的电磁仿真技术，在当前工业应用中仍具有明显的市场优势，预计在未来将维持稳定增长。而DGTD虽然目前市场份额较小，但凭借其对复杂几何结构的强适应性和高精度特性，在高端专业领域展现出巨大的发展潜力。随着计算资源的不断升级和算法本身的持续优化，DGTD有望在未来占据更加重要的技术位置，并与FDTD形成协同互补的格局，共同推动电磁仿真技术向更高层次发展。
参考文献
[1] J N ,W P ,K B .Simulation of optical resonators using DGTD and FDTD[J].Journal of Optics A: Pure and Applied Optics,2009,11(11):114015-114015.
[2] Angulo L D, Alvarez J, Pantoja M F, et al. Discontinuous Galerkin time domain methods in computational electrodynamics: State of the art[C]//Forum Electromagn. Res. Methods Appl. Technol. 2015, 10(4): 1-24.
[3] MarketsandMarkets：Electromagnetic Simulation Software Market - Global Forecast to 2027
Grand View Research发布的研究报告对计算电磁学市场的规模、份额及发展趋势进行了深入分析 [5]。该报告全面探讨了当前市场格局、关键技术进展以及未来增长驱动因素，为行业参与者提供了重要的决策参考依据。
Allied Market Research则聚焦于电磁仿真软件领域，从部署模式和应用方向两个维度对市场进行细分研究。报告详细阐述了不同部署方式（如本地部署与云端部署）在各类应用场景中的使用现状与前景，揭示了市场需求的多样化特征。
两份报告均指出，随着电子设备复杂度不断提升以及高频通信技术的快速发展，电磁仿真工具在研发设计环节的重要性日益凸显。同时，各行业对产品电磁兼容性和射频性能要求的提高，进一步推动了相关软件市场的扩张。
此外，研究还强调了高性能计算与人工智能技术融合对电磁仿真效率提升的积极影响。这些技术进步不仅缩短了仿真周期，也增强了对复杂电磁环境的模拟能力，从而拓展了计算电磁学的应用边界。
京公网安备 11010802022788号
