【最大利润运输问题】

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运输问题 - 利润最大化（优化与降重版本）

本题研究在多个生产工厂向不同销售地区供货的过程中，如何实现公司总利润的最大化。已知存在四个实际生产单位 B、B、B、B，其产量分别为 200 吨、300 吨、400 吨和 100 吨，合计供给为 1000 吨。产品需配送至六个需求区域 A 至 A，各地需求量依次为：200 吨、150 吨、400 吨、100 吨、150 吨和 150 吨，总需求达 1150 吨。

由于各工厂生产工艺不同，单位生产成本分别为 1.2、1.4、1.1、1.5 万元/吨；而各销地的市场售价也存在差异，分别为 2、2.4、1.8、2.2、1.6、2 万元/吨。此外，从各工厂到各销地之间的单位运输费用如下表所示（单位：万元/吨）。目标是制定一个最优调运方案以使整体利润最大，并满足特定约束条件：

• A 地区至少获得 100 吨供应；
• A 地区的需求必须完全满足。

最终只需列出调整后的产销平衡表，无需进行具体求解。

[此处为图片1]

模型构建思路

将传统运输问题转化为最大利润模型，通过构造单位利润矩阵替代传统的单位成本结构。其中每条路径的单位利润计算公式为：

P_ij = 售价_j - 成本_i - 运费_ij

当总供给不等于总需求时，需引入虚拟节点完成系统平衡。若总需求大于总供给，则增设一个虚拟产地 B，其产能为缺口部分，即 1150 - 1000 = 150 吨。该虚拟工厂无实际生产行为，故其生产成本与运费均为零，对应所有 P_5j = 0。

产销总量分析

总供给量 S = 200 + 300 + 400 + 100 = 1000 吨
总需求量 D = 200 + 150 + 400 + 100 + 150 + 150 = 1150 吨

因 D > S，存在 150 吨的供应缺口，故引入虚拟工厂 B，产量设为 150 吨，用于填补未被满足的需求部分，确保模型可解。

单位利润矩阵计算

根据公式 P_ij = R_j - C_i - T_ij，结合原始数据逐项计算每个路径上的单位利润值。

已知参数：

• 各工厂单位生产成本 C： C = 1.2, C = 1.4, C = 1.1, C = 1.5, C（虚拟）= 0
• 各销地单位售价 R： R = 2.0, R = 2.4, R = 1.8, R = 2.2, R = 1.6, R = 2.0

基于上述信息及提供的运费表，计算得到完整的单位利润矩阵如下（单位：万元/吨）：

Pij	A (R=2.0)	A (R=2.4)	A (R=1.8)	A (R=2.2)	A (R=1.6)	A (R=2.0)	Ci
B (C=1.2)	2.01.20.5=0.3	2.41.20.9=0.3	1.81.20.3=0.3	2.21.20.4=0.6	1.61.20.3=0.1	2.01.20.1=0.7	1.2
B (C=1.4)	2.01.40.3=0.3	2.41.40.8=0.2	1.81.40.9=0.5	2.21.40.5=0.3	1.61.40.8=0.6	2.01.40.2=0.4	1.4
B (C=1.1)	2.01.10.7=0.2	2.41.10.7=0.6	1.81.10.3=0.4	2.21.10.7=0.4	1.61.10.4=0.1	2.01.10.4=0.5	1.1
B (C=1.5)	2.01.50.6=0.1	2.41.50.4=0.5	1.81.50.2=0.1	2.21.50.6=0.1	1.61.50.5=0.4	2.01.50.8=0.3	1.5
B 虚拟 (C=0)	0	0	0	0	0	0	0

[此处为图片2]

特殊约束处理方式

针对题目中的两类特殊限制，采用如下建模策略：

1. A 需求必须全部满足： 为保证 A 不依赖虚拟工厂供货，在利润矩阵中将 B → A 的利润值设为极小负数（如 -M），从而在最优化过程中禁止该路径使用。
2. A 至少供应 100 吨： 将 A 的总需求拆分为两部分处理——前 100 吨为强制满足量，不允许由虚拟工厂提供，即将 B → A 的利润设为 -M；剩余最多 50 吨为弹性需求，允许缺货，对应路径利润保持为 0，表示可通过虚拟工厂“补足”。

经过以上调整后，即可形成可用于最大利润运输模型的标准产销平衡表，包含五个供应点（含虚拟工厂）与六个销售地，且所有约束均已编码进利润矩阵结构中。

[此处为图片3]

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一、数值计算表达式整理

对一系列三元减法运算进行了统一呈现，确保数据清晰可读：

• 2 - 1.4 - 0.3 = 0.3
• 2.4 - 1.4 - 0.8 = 0.2
• 1.8 - 1.4 - 0.9 = -0.5
• 2.2 - 1.4 - 0.5 = 0.3
• 1.6 - 1.4 - 0.8 = -0.6
• 2 - 1.4 - 0.2 = 0.4

基于参数 B 对应值 1.1 的运算组：

• 2 - 1.1 - 0.7 = 0.2
• 2.4 - 1.1 - 0.7 = 0.6
• 1.8 - 1.1 - 0.3 = 0.4
• 2.2 - 1.1 - 0.7 = 0.4
• 1.6 - 1.1 - 0.4 = 0.1
• 2 - 1.1 - 0.4 = 0.5

基于参数 B 对应值 1.5 的运算组：

• 2 - 1.5 - 0.6 = -0.1
• 2.4 - 1.5 - 0.4 = 0.5
• 1.8 - 1.5 - 0.2 = 0.1
• 2.2 - 1.5 - 0.6 = 0.1
• 1.6 - 1.5 - 0.5 = -0.4
• 2 - 1.5 - 0.8 = -0.3

[此处为图片1]

二、运输模型中约束条件的处理与产销平衡表构建

依据设定的约束规则，对销地需求进行拆分并调整利润系数，以满足线性规划建模要求。

A 节点的需求拆分（A ≥ 100）：

将 A 总需求 150 吨划分为两个子节点：

• A_2a：刚性需求 100 吨，必须由 B 至 B 满足；对应利润项 P_5,2a = -M
• A_2b：弹性需求 50 吨，可选择性满足；对应利润项 P_5,2b = 0

A 节点的强制满足约束：

A 需求量为 100 吨，限定仅能由 B 到 B 供应，不可由虚拟工厂承担，因此其惩罚项设为 P_5,4 = -M。

[此处为图片2]

三、最终产销平衡矩阵（单位利润形式）

构建完整的运输利润矩阵，作为求解最大利润问题的基础。表格以 P_ij 表示从产地 B_i 向销地 A_j 运输每吨产品的利润（单位：万元/吨）。

利润 Pij	A (200)	A2a (100)	A2b (50)	A (400)	A (100)	A (150)	A (150)	产量 Si
B (200)	0.3	0.3	0.3	0.3	0.6	0.1	0.7	200
B (300)	0.3	0.2	0.2	-0.5	0.3	-0.6	0.4	300
B (400)	0.2	0.6	0.6	0.4	0.4	0.1	0.5	400
B (100)	-0.1	0.5	0.5	0.1	0.1	-0.4	-0.3	100
B (虚) (150)	-M	-M	0	0	-M	0	0	150
需求 Dj	200	100	50	400	100	150	150	1150

该平衡表完整反映了运输模型中的供需结构、单位利润、虚拟节点设置以及各类约束条件，可用于后续线性规划求解。

[此处为图片3]

四、运输问题的线性规划模型（利润最大化）标准表述

按照运筹学规范格式，建立如下最大化目标的线性规划模型。

1. 决策变量定义

令 x_ij 表示从生产地 B_i 向销售地 A_j 运输的产品数量（单位：吨）。

产地集合 I：

I = {B, B, B, B, B}，其中 B 为引入的虚拟产地，用于实现产销平衡。

销地集合 J：

J = {A, A_2a, A_2b, A, A, A, A}

2. 目标函数

最大化总利润：

max Z = ΣΣ P_ij × x_ij，其中 i ∈ I, j ∈ J

3. 约束条件

(1) 产地供应能力约束（对每个 i ∈ I）：

Σ_j∈J x_ij ≤ S_i

(2) 销地需求满足约束（对每个 j ∈ J）：

Σ_i∈I x_ij ≥ D_j

(3) 非负性约束：

x_ij ≥ 0，对所有 i ∈ I, j ∈ J

通过上述建模，可利用单纯形法或运输算法求解最优调运方案，实现整体利润最大化。

三、最终运输方案的产销平衡表

在实现最大利润为 430.00 万元 的前提下，以下表格展示了各工厂向各个销售地（包含拆分后的 A_2a 和 A_2b）的最优运输量 x_ij（单位：吨）。

xij (吨)	A (200)	A (100)	A (50)	A (400)	A (100)	A (150)	A (150)	产量 S
B (200)	50	150						200
B (300)	200			100				300
B (400)		50		350				400
B (100)		50	50					100
B (虚) (150)						150		150
需求 D	200	100	50	400	100	150	150	1150

1. 核心结果分析

• A 地区总供给情况：
  • A 所需的 100 吨由 B 提供 50 吨、B 提供 50 吨；
  • A 所需的 50 吨全部由 B 供应。
• 实际生产工厂（B 至 B）对 A 地区的总供货量为 50 + 50 + 50 = 150 吨，满足“至少供应 100 吨”的强制性要求。
• 未满足的需求说明：A 销地的 150 吨需求完全由虚拟工厂 B “供应”，这表明这部分需求在现实中并未被实际工厂覆盖，即存在 150 吨的需求缺口。

二、模型构建与参数设定

本优化模型旨在通过合理分配运输路径，在满足供需约束的前提下最大化整体运输利润。以下是关键要素定义：

1. 集合划分（Sets）

• I：实际及虚拟工厂集合，I = {B, B, B, B, B}，其中 B 为虚拟工厂，用于处理无法满足的需求；
• J：销售地集合，J = {A, A, A, A, A, A, A}，其中 A 被拆分为两个子区域 A 和 A，以体现不同供应来源的要求。

2. 参数说明（Parameters）

• P_ij：从工厂 B 到销地 A 的单位运输利润（单位：万元/吨）；
• S：各工厂的生产能力（供给量），具体为：
  S = 200, S = 300, S = 400, S = 100, S = 150（虚拟产能）；
• D：各销地的需求量，分别为：
  D = 200, D = 100, D = 50, D = 400, D = 100, D = 150, D = 150；
• M：一个足够大的正数，用于构造惩罚项，确保特定运输路径在最优解中不被采用。

3. 目标函数（Objective Function）

目标是使总运输利润最大化：

Maximize Z = ∑_i∈I ∑_j∈J P_ijx_ij

4. 约束条件（Constraints）

1. 供给约束：每个工厂的总出货量等于其产能：
   ∑_j∈J x_ij = S, i ∈ I
2. 需求约束：每个销地的总收货量等于其需求：
   ∑_i∈I x_ij = D, j ∈ J
3. 非负性约束：所有运输量必须非负：
   x_ij ≥ 0, i ∈ I, j ∈ J
4. 隐含强制约束（通过参数设置实现）：
   • 销地 A 不得由虚拟工厂 B 供应 → 设定 P_5,4 = -M，迫使 x_5,4 = 0；
   • A 地区中至少 100 吨需由真实工厂提供 → 将 A 拆分为 A 和 A，并对路径 B→A 设置 P_5,2a = -M，从而保证 x_5,2a = 0。

由于 M 是一个极大的负值，在最大化问题中，任何选择这些路径的方案都会导致利润大幅下降，因此求解器会自动避免使用这些边，实现逻辑上的强制限制。

[此处为图片1]

在求解最大化利润问题时，理想情况下应避免选择带来负利润的运输路径。只有在满足特定约束条件而必须采用时，才可保留此类路径。

根据模型输出结果，以下为实际启用的运输路径及其相关数据：

工厂 (Bi)	销地 (Aj)	运输量 xij	单位利润 Pij	利润贡献
B1	A3	50	0.30	50 × 0.3 = 15.0
B1	A6	150	0.70	150 × 0.7 = 105.0
B2	A1	200	0.30	200 × 0.3 = 60.0
B2	A4	100	0.30	100 × 0.3 = 30.0
B3	A2a	50	0.60	50 × 0.6 = 30.0
B3	A3	350	0.40	350 × 0.4 = 140.0
B4	A2a	50	0.50	50 × 0.5 = 25.0
B4	A2b	50	0.50	50 × 0.5 = 25.0
B5	A5	150	0.00	150 × 0.0 = 0.0

[此处为图片1]

将各路径的利润贡献相加：

15.0 + 105.0 + 60.0 + 30.0 + 30.0 + 140.0 + 25.0 + 25.0 + 0.0 = 430.0 万元。

因此，该分配方案下的总利润为 430.0 万元，且未包含任何负利润路径，符合最优解的基本要求。

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关键词：运输问题 Constraints parameters Constraint Parameter