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概率论期末重点计算题精讲（1-7章）
本文围绕概率论期末考试中的核心计算题型展开，每章选取一道典型例题进行解析，紧扣教学大纲，帮助考生高效复习、掌握关键解题思路，确保在计算类题目中稳拿分数。
第二章：随机变量的分布 —— 密度与概率转换
常见题型： 给定连续型随机变量的概率密度函数 f(x)，求某区间的概率或其分布函数。
典型例题：
设随机变量 X 的概率密度函数为：
f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}
求概率 P(0.2 < X < 0.6)。
解答：
根据概率的积分定义：
P(0.2 < X < 0.6) = \int_{0.2}^{0.6} 2x \, dx = [x^2]_{0.2}^{0.6} = 0.36 - 0.04 = 0.32
[此处为图片1]第一章：全概率公式与贝叶斯公式的应用（高频考点）
考查重点： 在多个原因可能导致同一结果的情况下，求某一特定原因发生的条件概率。
核心公式回顾：
- 全概率公式：
P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i) - 贝叶斯公式：
P(A_k|B) = \frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}
经典例题：
某工厂有三条生产线，次品率分别为 2%、3% 和 5%，产量占比分别为 50%、30% 和 20%。现从总产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品来自第一条生产线的概率。
解题过程：
记 A, A, A 分别表示产品来自第一、二、三条生产线，B 表示“抽到的是次品”。
首先用全概率公式计算 P(B)：
P(B) = 0.5×0.02 + 0.3×0.03 + 0.2×0.05 = 0.029
再利用贝叶斯公式求条件概率：
P(A|B) = \frac{0.5 × 0.02}{0.029} ≈ 0.3448
[此处为图片2]第三章：多维随机变量 —— 边缘密度与独立性判断
题型说明： 已知二维随机变量的联合密度函数 f(x,y)，求边缘密度，并据此判断两个变量是否相互独立。
例题展示：
设二维随机变量 (X,Y) 的联合密度函数为：
f(x,y) = \begin{cases} 6xy, & 0 < x < 1,\ 0 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}
求 X 的边缘密度函数 f_X(x)，并分析 X 与 Y 是否独立。
解答步骤：
对 y 积分得 X 的边缘密度：
f_X(x) = \int_0^1 6xy \, dy = 6x \cdot \frac{1}{2} = 3x, \quad 0 < x < 1
同理可得 Y 的边缘密度：
f_Y(y) = 3y，其中 0 < y < 1。
检验独立性：
若独立，则应满足 f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) 对所有 (x,y) 成立。
但实际有：
f_X(x)f_Y(y) = 3x 3y = 9xy ≠ 6xy = f(x,y)
因此，X 与 Y 不独立。
注意点： 判断独立性时必须验证联合密度是否等于边缘密度的乘积，不可仅凭形式推测。
[此处为图片3]第四章：数字特征 —— 期望与方差
题型：已知概率密度函数，求随机变量的数学期望 E(X) 与方差 D(X)。
例题：
设随机变量 X 服从拉普拉斯分布，其概率密度函数为：
$$
f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|},\quad x \in \mathbb{R}
$$
求 E(X) 和 D(X)。
解：
由于该密度函数是偶函数，关于原点对称，因此其数学期望为零：
$$
E(X) = 0
$$
接下来计算二阶原点矩：
$$
E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{-|x|} dx
$$
利用被积函数的偶性，可化简为：
$$
= 2 \int_0^{\infty} x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{-x} dx = \int_0^{\infty} x^2 e^{-x} dx
$$
上述积分形式正是伽马函数 $\Gamma(3)$ 的定义：
$$
\Gamma(3) = 2! = 2
$$
因此有：
$$
E(X^2) = 2
$$
方差为：
$$
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2 - 0^2 = 2
$$
第五章：极限定理 —— 中心极限定理的应用
题型：利用正态近似方法，估算独立同分布随机变量和的概率。
例题：
设 $X_1, X_2, \dots, X_{100}$ 是一组独立同分布的随机变量，满足：
$$
E(X_i) = 2,\quad D(X_i) = 4
$$
求以下概率的近似值：
$$
P\left(\sum_{i=1}^{100} X_i > 210\right)
$$
解：
记总和 $S = \sum_{i=1}^{100} X_i$，则根据期望和方差的性质：
$$
E(S) = 100 \times 2 = 200,\quad D(S) = 100 \times 4 = 400
$$
标准差为：
$$
\sigma_S = \sqrt{400} = 20
$$
由中心极限定理可知，$S$ 近似服从正态分布。标准化后得：
$$
P(S > 210) \approx P\left(Z > \frac{210 - 200}{20}\right) = P(Z > 0.5)
$$
查标准正态分布表：
$$
\Phi(0.5) \approx 0.6915
$$
所以：
$$
P(Z > 0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085
$$
故所求概率的近似值为 0.3085。
第六章：统计量及其分布
题型：判断常见样本统计量所服从的概率分布类型。
例题：
设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，
定义样本均值为：
$$
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
$$
问 $\bar{X}$ 服从何种分布？
答：
样本均值也服从正态分布：
$$
\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)
$$
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，使用样本方差 $S^2$ 替代，则统计量：
$$
\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)
$$
其中 $S^2$ 为样本方差。
本章需重点掌握三大抽样分布的构造方式与适用条件：
$\chi^2$ 分布、t 分布、F 分布。
第七章：参数估计（不考察假设检验）
题型：求解参数的矩估计或最大似然估计（MLE）。
例题（最大似然估计）：
设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是从总体 $X \sim U(0, \theta)$ 中抽取的样本，
求参数 $\theta$ 的最大似然估计。
解：
均匀分布 $U(0, \theta)$ 的密度函数在区间 $(0, \theta)$ 内为常数 $\frac{1}{\theta}$。
因此，联合密度函数（即似然函数）为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} I_{(0 < x_i < \theta)} = \frac{1}{\theta^n} I_{(\theta \geq \max\{x_1,\dots,x_n\})}
$$
要使似然函数尽可能大，需让 $\theta$ 尽可能小，但又必须满足 $\theta \geq \max x_i$。
因此，当 $\theta = \max\{x_1, \dots, x_n\}$ 时，似然函数达到最大。
故 $\theta$ 的最大似然估计为：
$$
\hat{\theta}_{\text{MLE}} = \max\{X_1, X_2, \dots, X_n\}
$$
核心计算题型总结如下：
第1章：全概率公式与贝叶斯公式的应用（必考）
涉及事件的分解与条件概率的逆推，常结合实际情境进行概率计算。
第2章：由概率密度函数求解概率
通过积分方法，利用已知的密度函数计算随机变量落在某一区间内的概率。
[此处为图片1]
第3章：联合密度函数的相关计算
从联合密度出发，求取边缘密度函数，并进一步判断两个变量是否相互独立。
第4章：数学期望与方差的计算
给定随机变量的概率分布或密度函数，计算其期望 E(X) 和方差 D(X)。
第5章：中心极限定理的应用
利用中心极限定理对独立同分布随机变量和进行正态近似，完成概率估算。
第6章：统计量的抽样分布
掌握正态分布、t 分布以及 χ 分布的基本性质及其在样本统计中的应用场景。
第7章：参数的点估计方法
包括矩估计法和最大似然估计法（MLE）。例如，最大似然估计量可表示为：
\hat{\theta}_{\text{MLE}} = \max\{X_1,\dots,X_n\}
[此处为图片2]
熟练掌握以上七类典型题型，基本可覆盖期末考试中绝大多数计算类题目，是提分的关键所在。
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