【小概率·大名堂】11.概率论里的“大叔”和“正太”——大叔篇

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前十期的【小概率·大名堂】主要讲了离散分布中的一些概率论小知识，其实呢，楼主开这个主题帖，没指望能将那么多知识点都一一讲清楚（楼主真没那能耐），楼主更希望大家能够对概率论这门课感兴趣，所以尽量写得轻松点，知识点也没有深入讨论，当然有些内容其实也就是略加整理而已……毕竟要把每篇都写的有趣也挺难的……
       当然伴随着离散分布的结束，用脚趾都知道楼主要开始掰扯连续分布了。恩，是的，连续分布系列从本期开始——
       首先登场的是“大叔”篇！对，你没看错，大叔（数）！
       放张图片来应景：

       （不要问我问什么是他！看到左下角了么？楼主喜欢的是小正太，小萝莉好么，不喜欢他的表拍我哈~~我真的只是百度了一下而已……）

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       好了好了，咱回归主题。其实我们真正要说的是大数定律。为什么要在连续分布里开篇就讲大数定律呢？因为这是一个铺垫，有太多的结论都是基于此拓展开的（小正太离不开大叔好么……）
首先说说大数定律大概是什么——
       人们发现，在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。偶然必然中包含着必然。
       于是就有了一个我们熟悉的定律：大数定律又称大数法则、大数律，是个数学与统计学的概念，意指数量越多，则其平均就越趋近期望值。（这里虽然是定律，但其实我们也能将其称为大数定理，因为他被论证过的）
什么是弱大数定律？
弱大数定理陈述为：让 为独立同分布的随机变量，且其期望有限。让 , ；则 依概率收敛于 。（伯努利大数定律就是一个弱大数定律）

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接下来我们来熟悉三位“大叔”，他们分别定义了三个大数定律——

（切比雪夫）
切比雪夫大数定律：设是一列两两不相关的随机变量，他们分别存在期望和方差。若存在常数C使得：
则对任意小的正数 ε，满足公式一：


将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。

（伯努利）
伯努利大数定律：设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式二：


该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。


辛钦大数定律：设{ai，i>=1}为独立同分布的随机变量序列，若ai的数学期望存在，则服从大数定律:即对任意的ε>0，有公式三：

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上面三位大叔虽然长得……但很牛啊！！{:2_37:}       当然啦，其实这个定律真要这么去证明，只有考试的时候才会这么干，大多数的时候我们只要了解就可以了（这也不是什么相对论那么难理解的……），咱来看看几个简单的小例子就能懂得——
比如：
1.人口比例：
一位数学家调查发现，欧洲各地男婴与女婴的出生比例是22:21，只有巴黎是25:24，这极小的差别使他决心去查个究竟。最后发现，当时的巴黎的风尚是重女轻男，有些人会丢弃生下的男婴，经过一番修正后，依然是22:21。中国的历次人口普查的结果也是22:21。

2.飞机失事：（最近经常发生~~~恐飞的同学有么？）
某个人乘飞机遇难，概率不可预料，对于他个人来说，飞机失事具有随机性。
但是对每年100万人次所有乘机者而言，这里的100万人可以理解这100万次的重复试验，其中，总有10人死于飞行事故。那么根据大数法则，乘飞机出事故的概率大约为十万分之一。 根据大数定律，承保危险的单位越多，损失概率的偏差越小，反之，承保危险的单位越少，损失概率的偏差越大。因此，保险公司运用大数法则就可以比较精确地预测危险，合理保险费率。

3.赌博输赢：
场本质上是一种温和的“概率场”，概率法则非常明显。一直玩下去，大数法则的作用就会日益显现出来。庄家在规则上占有少许优势，玩的次数越多，这种优势越能显现出来。

……
例子太多，就不一一列举了！对了，忘了“大叔”有个兄弟，叫做中心极限的，你们记得么？今天他虽然不是主角，但为了以后的小正太，还是把他提提吧，做个略微的介绍——
中心极限定理是概率论中的一组定理。中心极限定理说明，大量相互独立的随机变量，其均值的分布以正态分布为极限。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。
中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布。

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本期大叔篇落下帷幕，楼主的问题是：
大家觉得三位大叔哪位比较帅？
A.切比雪夫
B.伯努利
C.辛钦

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