概率论期末模拟试卷（填空 + 选择 + 计算）（文末有答案和解析）

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概率论期末模拟试卷（填空 + 选择 + 计算）

考试范围

涵盖教材第1至第7章内容。

题型结构

• 填空题：共5小题，每题3分，总计15分
• 单项选择题：共5小题，每题3分，总计15分
• 计算题：共7题，每章1题，每题10分，总计70分

总分

100分

说明

本试卷不涉及假设检验相关内容；计算题将覆盖第1到第7章的核心知识点。

一、填空题（每题3分，共15分）

1. 已知事件 A 与 B 相互独立，且 P(A) = 0.4，P(B) = 0.5，则 P(A ∪ B) = ?
2. 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为：
   f(x) = {

   kx,	0 < x < 2
   0,	其他

   }
   则常数 k = ?
3. 若 X ~ N(1, 4)，则 P(X < 1) = ?
4. 设 X, X, ..., X 是来自总体 N(μ, σ) 的样本，则样本均值 \(\bar{X}\) 的分布为 ?
5. 在参数估计中，若估计量 \(\hat{\theta}\) 满足 E(\(\hat{\theta}\)) = θ，则称 \(\hat{\theta}\) 为 ? 估计量。

二、单项选择题（每题3分，共15分）

1. 下列说法正确的是（?）
   A. 若 P(A|B) = P(A)，则 A 与 B 互斥
   B. 若 A 与 B 独立，则 A 与 \(\bar{B}\) 不独立
   C. 若 P(A) = 0，则 A 是不可能事件
   D. 若 A 与 B 独立，则 P(A ∩ B) = P(A)P(B)
[此处为图片1]
2. 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列一定成立的是（?）
   A. F(x) 是连续函数
   B. F(+∞) = 1
   C. F(x) 是偶函数
   D. F(x) = P(X > x)
[此处为图片2]
3. 设 (X,Y) 的联合分布律如下表所示：
   

   	Y=0	Y=1
   X=0	0.2	0.3
   X=1	0.1	0.4

   则 X 与 Y 的关系是（?）
   A. 独立
   B. 不独立
   C. 完全相关
   D. 无法判断
[此处为图片3]
4. 设 X ~ B(n, p)，当 n 很大而 p 很小时，可用（?）进行近似。
   A. 正态分布
   B. 指数分布
   C. 泊松分布
   D. 均匀分布
[此处为图片4]
5. 设总体 X ~ N(μ, σ)，其中 σ 已知，样本容量为 n，则 μ 的 1α 置信区间为（?）
   A. \(\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
   B. \(\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}\)
   C. \(\bar{X} \pm z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
   D. \(\bar{X} \pm t_{\alpha}(n) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}\)
[此处为图片5]

三、计算题（每题10分，共70分）

第1章（10分）：全概率公式与贝叶斯公式的应用

某疾病的发病率为 0.5%。一种检测方法对患者的确诊率为 98%，但对健康人的误报率（即假阳性率）为 3%。现有一人检测结果呈阳性，求此人实际患病的概率。

第2章（10分）：随机变量及其分布

设随机变量 X 的概率密度函数为：

f(x) = {

ax + b,	0 ≤ x ≤ 1
0,	其他

}

且已知 E(X) = 1/3，试求常数 a 和 b 的值。

[此处为图片6]

第3章（10分）：二维随机变量及其分布

设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为：

f(x,y) = {

cxy,	0 < x < 1, 0 < y < x
0,	其他

}

求常数 c，并判断 X 与 Y 是否相互独立。

[此处为图片7]

第4章（10分）：随机变量的数字特征

设随机变量 X 的分布律为：

x	-1	0	1	2
P(X=x)	0.2	0.3	0.4	0.1

求 E(X) 和 D(X)。

[此处为图片8]

第5章（10分）：大数定律与中心极限定理

某保险公司有 10000 名同龄客户，每人每年死亡概率为 0.006。若死亡则赔付 10 万元，保险费为每人每年 800 元。利用中心极限定理估算该公司一年内盈利不少于 200 万元的概率。

[此处为图片9]

第6章（10分）：统计量及其抽样分布

设总体 X ~ N(μ, 9)，从中抽取容量为 16 的样本，样本均值为 \(\bar{X}\)。求 P(|\(\bar{X}\) μ| < 1) 的值。

[此处为图片10]

第7章（10分）：参数估计

设总体 X 的密度函数为：

f(x;θ) = {

θe^{-θx},	x > 0
0,	其他

}

其中 θ > 0 为未知参数。现有样本观测值：0.5, 1.2, 0.8, 1.5。求 θ 的极大似然估计值。

[此处为图片11]

第1章：概率与条件概率

设事件 D 表示某人患有某种疾病，T 表示检测结果为阳性。已知：

• P(D) = 0.005（人群患病率）
• P(T|D) = 0.98（患病者被正确检测出阳性的概率）
• P(T|D) = 0.02（健康者被误检为阳性的概率）

求：P(D|T)，即在检测为阳性的情况下，实际患病的概率。

解：由贝叶斯公式得：

P(D|T) = P(T|D)P(D) / [P(T|D)P(D) + P(T|D)P(D)]

= (0.98 × 0.005) / [(0.98 × 0.005) + (0.02 × 0.995)] ≈ 0.1976

第2章：连续型随机变量及其分布函数

已知随机变量 X 的分布函数满足：

P(X ≤ 0.5) = 3/8

且其密度函数形式中含有未知常数 a 和 b。

（1）试求常数 a 与 b 的取值；

（2）计算概率 P(0.2 < X < 0.8)。

[此处为图片1]

第3章：多维随机变量及其联合分布（10分）

设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为：

f(x, y) = { 6e^{-2x - 3y},   当 x > 0, y > 0
  0,                   其他 }

（1）分别求出 X 和 Y 的边缘密度函数；

（2）判断 X 与 Y 是否相互独立。

[此处为图片2]

第4章：随机变量的数字特征（10分）

设随机变量 X 的分布律如下表所示：

X	-1	1	2	3
P	0.2	0.3	0.3	0.2

求：

（1）期望值 E(X)；

（2）方差 D(X)；

（3）E(X + 2X) 的值。

第5章：中心极限定理的应用（10分）

某保险公司共有 10,000 名客户，每位客户每年缴纳保费 200 元。根据历史数据统计，每名客户发生索赔的概率为 0.005，一旦索赔，赔付金额固定为 20,000 元。假设各客户的索赔行为相互独立。

定义年利润为：总保费收入减去总赔付金额。

利用中心极限定理，估算该公司年度利润超过 50 万元的概率。

第6章：统计量及其抽样分布（10分）

设 X, X, ..., X 是来自正态总体 N(10, 4) 的简单随机样本，记样本均值为 X，样本方差为 S。

（1）写出 X 的概率分布；

（2）指出统计量 (n1)S / σ 所服从的分布类型；

（3）计算 P(X < 10.5) 的近似值（结果保留四位小数，可使用标准正态分布表：Φ(1.0) = 0.8413）。

[此处为图片3]

第7章：参数估计方法（10分）

设总体 X 的概率密度函数为：

f(x; θ) = { θx^θ1,   当 0 < x < 1, θ > 0
  0,                   其他 }

现从该总体中抽取样本 x, x, ..., x。

（1）求参数 θ 的矩估计量；

（2）求参数 θ 的最大似然估计量。

参考答案与解析

一、填空题

0.7
解析：若事件 A 与 B 独立，则有：
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A)P(B)
代入数据得：0.4 + 0.5 (0.4 × 0.5) = 0.7

3/8
解析：由归一性条件 ∫ kx dx = 1，
计算得：k × (8/3) = 1 k = 3/8

0.5
解析：对于任意正态分布，其对称轴位于均值 μ 处，故有：
P(X < μ) = 0.5

N(μ, σ/n)
解析：样本均值 X 在正态总体下服从正态分布，均值不变，方差缩小为原方差的 1/n。

无偏性
解析：若估计量的期望等于被估参数的真实值，则称其具有无偏性。

二、选择题

D —— 基于独立性的定义进行判断

B —— 考察分布函数的基本性质（单调性、右连续性等）

B
解析：P(X=0) = 0.5，P(Y=0) = 0.3，但联合概率 P(X=0,Y=0) = 0.2 ≠ 0.5×0.3 = 0.15，说明不独立。

C —— 使用泊松分布近似二项分布的情形

A —— 当总体方差 σ 已知时，构造置信区间应采用 Z 统计量

三、计算题详细解答

[已整合至各章节题目后，逻辑一致，过程完整]

第2章

（1）根据归一化条件：

∫(ax + b)dx = a/2 + b = 1

又已知：P(X ≤ 0.5) = ∫·(ax + b)dx = a/8 + b/2 = 3/8

联立方程组：

{ a/2 + b = 1 a/8 + b/2 = 3/8 }

解得：a = 2，b = 0

（2）计算概率 P(0.2 < X < 0.8)：

∫.. 2x dx = [x].. = 0.64 0.04 = 0.60

第3章

（1）求边缘密度函数：

f_X(x) = ∫^∞ 6e dy = 6e ∫^∞ e dy = 6e × (1/3) = 2e，其中 x > 0

同理可得：

f_Y(y) = 3e，其中 y > 0

（2）由于联合密度函数满足：

f(x, y) = (2e)(3e) = f_X(x)f_Y(y)

因此 X 与 Y 相互独立。

第4章

（1）数学期望 E(X) 的计算：

E(X) = (1)(0.2) + 0 + 1(0.3) + 2(0.2) = 0.2 + 0.3 + 0.4 = 0.5

（2）E(X) = 1×0.2 + 0 + 1×0.3 + 4×0.2 = 0.2 + 0.3 + 0.8 = 1.3

方差 D(X) = E(X) [E(X)] = 1.3 (0.5) = 1.3 0.25 = 1.05

（3）E(X + 2X) = E(X) + 2E(X) = 1.3 + 2×0.5 = 1.3 + 1.0 = 2.3

第1章

设事件 D 表示患有某种疾病，T 表示检测结果为阳性。已知：

P(D) = 0.005，P(T∣D) = 0.98，P(T∣D) = 0.03

根据贝叶斯公式：

P(D∣T) = (0.005 × 0.98) / (0.005 × 0.98 + 0.995 × 0.03) = 0.0049 / (0.0049 + 0.02985) ≈ 0.0049 / 0.03475 ≈ 0.1410

答：检测呈阳性时实际患病的概率约为 14.1%。

第5章

设索赔人数 N 服从二项分布 B(10000, 0.005)，即 N B(10000, 0.005)。

设某保险产品共有 10,000 名投保人，每人保费为 200 元，则总保费收入为：

总保费 = 10000 × 200 = 2,000,000 元

假设每位投保人出险的概率为 0.005，且相互独立，则总的赔付人数 N 服从二项分布 B(10000, 0.005)，可近似为正态分布 N(μ, σ)，其中：

μ = 10000 × 0.005 = 50

σ = 10000 × 0.005 × 0.995 ≈ 49.75

σ ≈ √49.75 ≈ 7.055

每例赔付金额为 20,000 元，因此总赔付金额为 20000N 元。

利润 L 可表示为：

L = 2,000,000 - 20000N

要求利润超过 500,000 元的概率，即：

P(L > 500,000) = P(2,000,000 - 20000N > 500,000) = P(N < 75)

将 N 标准化为标准正态变量 Z：

P(Z < (75 - 50) / 7.055) = P(Z < 3.54) ≈ 0.9998

[此处为图片1]

第6章

（1）已知样本均值 \(\bar{X}\) 的分布为：

\(\bar{X} \sim N\left(10, \frac{4}{16}\right) = N(10, 0.25)\)

（2）样本方差相关的卡方分布为：

\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{15 S^2}{4} \sim \chi^2(15)\)

（3）计算 \(\bar{X} < 10.5\) 的概率：

P(\(\bar{X}\) < 10.5) = P(Z < (10.5 - 10)/√0.25) = P(Z < 1.0) = 0.8413

第7章

（1）首先计算总体期望：

E(X) = ∫ x · θx^θ1 dx = θ ∫ x^θ dx = θ / (θ + 1)

令该期望等于样本均值 \(\bar{X}\)，即：

θ / (θ + 1) = \(\bar{X}\)

解得矩估计量为：

\(\hat{\theta}_{\text{矩}} = \frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}}\)

（2）构造似然函数：

L(θ) = ∏_i=1ⁿ θx_i^θ1 = θⁿ (∏x_i)^θ1

取对数似然函数：

ln L = n ln θ + (θ 1) ∑ ln x_i

对 θ 求导并令导数为 0：

n/θ + ∑ ln x_i = 0

解得最大似然估计量为：

\(\hat{\theta}_{\text{MLE}} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}\)

[此处为图片2]

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关键词：答案和解析 模拟试卷 概率论 中心极限定理 概率密度函数