线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章 矩阵代数 2.3 可逆矩阵的特征(2)

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可逆矩阵定理（定理 8）

设 A 是一个 n×n 的方阵，则以下各命题彼此等价，即对于给定的矩阵 A，它们要么全部成立，要么全部不成立：

• A 是可逆矩阵。
• A 行等价于 n×n 单位矩阵 I_n。
• A 具有 n 个主元位置。
• 齐次线性方程组 Ax = 0 只有平凡解。
• A 的列向量线性无关。
• 由 x Ax 定义的线性变换是一对一映射。
• 对于任意 b ∈ ⁿ，非齐次方程 Ax = b 至少存在一个解。
• A 的列向量张成整个空间 ⁿ。
• 由 x Ax 定义的线性变换将 ⁿ 映上到自身。
• 存在一个 n×n 矩阵 C，使得 CA = I。
• 存在一个 n×n 矩阵 D，使得 AD = I。
• A^T 是可逆矩阵。

问题分析与解答

若 Gx = y 对某个 y ∈ ⁿ 有多个解，G 的列是否能生成 ⁿ？

当方程 Gx = y 拥有多个解时，说明其解集不唯一，这意味着对应的齐次系统 Gx = 0 存在非平凡解。根据可逆矩阵定理，这表明命题 (g) 不成立——即并非对所有 b 方程都有解。由于所有命题等价，(g) 为假意味着 (h) 也为假。

而命题 (h) 指出：G 的列张成 ⁿ。因此该命题为假表示 G 的列无法生成整个 ⁿ。

结论： G 的列不能生成 ⁿ。

若 Hx = c 对某个 c ∈ ⁿ 不相容，那么 Hx = 0 的情况如何？

方程 Hx = c 不相容，意味着不存在向量 x 使其成立，即命题 (g) 不成立。依据可逆矩阵定理，命题 (g) 与 (d) 等价。因此 (d) 也为假，即齐次方程 Hx = 0 不仅有零解，还存在非平凡解。

结论： 方程 Hx = 0 存在非平凡解。

若 K 是 n×n 矩阵且不能化简为单位矩阵 I_n，其列有何性质？

若矩阵 K 无法通过行变换化为 I_n，则说明它不满足命题 (b)，即不与单位矩阵行等价。根据可逆矩阵定理，这导致多个相关命题同时为假，包括 (e) 和 (h)。

其中，(e) 为假表示 K 的列线性相关；(h) 为假表示这些列不能张成 ⁿ。

结论： K 的列既线性相关，也不能生成 ⁿ。

若 Lx = 0 仅有平凡解，L 的列能否张成 ⁿ？

注意：任何齐次方程 Lx = 0 都至少有平凡解（零解）。但“仅有平凡解”这一条件非常关键，它实际上对应可逆矩阵定理中的命题 (d) 成立。

若已知只有平凡解，则命题 (d) 成立，进而所有等价命题均成立，包括 (h) —— 即 L 的列张成 ⁿ。

结论： 是的，L 的列可以张成 ⁿ。

验证例 1 中所述命题的正确性

假设 A 为方阵，且存在矩阵 B 使得 AB = I。

根据可逆矩阵定理，此条件足以推出 A 可逆。于是可在等式两边左乘 A^-1，得：

A^-1AB = A^-1I B = A^-1

再由逆矩阵的基本性质可知，B = A^-1 本身也是可逆的，且其逆为 A，即 (A^-1)^-1 = A。

结论： 原命题成立。

为何当 A 的列线性无关时，A 的列能生成 ⁿ？

已知 A 是 n×n 矩阵，且其列线性无关。根据可逆矩阵定理，这说明 A 可逆。

考虑矩阵乘积 A = A·A。两个可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵，故 A 可逆。

再次应用可逆矩阵定理，可逆矩阵的列必定张成整个 ⁿ。

结论： 因此 A 的列能够生成 ⁿ。

设 A 和 B 均为 n×n 矩阵，若 AB 可逆，则 A 是否也可逆？

已知 AB 可逆，即存在矩阵 C 使得 (AB)C = I 且 C(AB) = I。

由结合律得：A(BC) = I，即存在矩阵 D = BC 使得 AD = I。

根据可逆矩阵定理中的命题 (k)，若存在 D 使 AD = I，则 A 可逆。

结论： 若 AB 可逆，则 A 必可逆。

设 \( A \) 和 \( B \) 均为 \( n \times n \) 的方阵，若矩阵乘积 \( AB \) 可逆，则可以推导出 \( A \) 也是可逆的。

假设存在一个矩阵 \( W \)，使得 \( ABW = I \)。将该式重新组合为 \( A(BW) = I \)。由于 \( A \) 是方阵，根据可逆矩阵定理（IMT）中的条件 (k)，若存在右逆，则 \( A \) 可逆。

因此得出结论：若 \( AB \) 可逆，则 \( A \) 必然可逆。

同样地，考虑 \( AB \) 可逆时对矩阵 \( B \) 的影响。

设 \( W \) 是 \( AB \) 的逆矩阵，满足 \( WAB = I \)。将其改写为 \( (WA)B = I \)。依据可逆矩阵定理（IMT）中的条件 (j)，应用于矩阵 \( B \)，可知 \( B \) 存在左逆，从而 \( B \) 可逆。

由此可得：若 \( AB \) 可逆，则 \( B \) 也可逆。

接下来分析线性变换 \( \mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x} \) 的性质。

若对于某个 \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n \)，方程 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 拥有多个解，则说明该变换不是一对一的。这表明可逆矩阵定理中命题 (f) 不成立。

当命题 (f) 不成立时，根据定理内部等价关系，命题 (i) 也不成立，即该变换不能将整个 \( \mathbb{R}^n \) 映射到自身。同时，\( A \) 不可逆，故该线性变换亦不可逆。

结论是：该变换既不是一对一的，也不能满射至 \( \mathbb{R}^n \)，且不可逆。

反之，若变换 \( \mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x} \) 是一对一的，则对应可逆矩阵定理中的命题 (f) 成立。

由 (f) 成立可推出命题 (i) 成立，即该变换将 \( \mathbb{R}^n \) 映上整个 \( \mathbb{R}^n \)。此时 \( A \) 可逆，因此该线性变换也是可逆的。

最终结论为：该变换是一对一的，映上整个 \( \mathbb{R}^n \)，并且可逆。

再考虑一种情形：设 \( A \) 为 \( n \times n \) 矩阵，且对任意 \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n \)，方程 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 至少有一个解。

根据 1.4 节定理 4，这意味着 \( A \) 的每一行都包含主元。由于 \( A \) 是方阵，其列数与行数相等，因此每一列也必然含有主元，不存在自由变量。

因此，每个方程 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 的解不仅存在，而且唯一。

结论是：每个这样的方程恰好有一个解。

进一步讨论：若齐次方程 \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) 仅有平凡解（即只有零解），能否说明对任意 \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n \)，非齐次方程 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 都有解？

答案是肯定的。因为 \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) 仅有平凡解，意味着 \( A \) 的各列线性无关，消元过程中每列都有主元。又因 \( A \) 是方阵，所有行也都被覆盖，即每行均有主元。

根据 1.4 节定理 4，这保证了对于任意 \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n \)，方程 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 都有解。

结论是：对所有 \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n \)，方程 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 必定至少存在一个解。

最后，设 \( T \) 是从 \( \mathbb{R}^2 \) 到 \( \mathbb{R}^2 \) 的线性变换，其具体形式未给出，但可通过上述理论框架进行性质判断。例如，若 \( T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} \) 中的矩阵 \( A \) 满足某些条件（如列向量线性无关或行简化后无自由变量），则可依前述逻辑推断其是否为一一对应、是否可逆、是否满射等。

考虑线性变换 \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \)，其定义为：

\[ T(x_1, x_2) = (-5x_1 + 9x_2,\, 4x_1 - 7x_2) \]

该变换的标准矩阵为：

\[ A = \begin{bmatrix} -5 & 9 \\ 4 & -7 \end{bmatrix} \]

计算矩阵的行列式：

\[ \det A = (-5)(-7) - (9)(4) = 35 - 36 = -1 \neq 0 \]

由于行列式不为零，矩阵 \( A \) 可逆。根据定理 9，线性变换 \( T \) 也是可逆的。

对于 \( 2 \times 2 \) 矩阵，逆矩阵的公式为：

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

代入数值：

\[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -7 & -9 \\ -4 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 9 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \]

因此，逆变换 \( T^{-1} \) 的表达式为：

\[ T^{-1}(x_1, x_2) = (7x_1 + 9x_2,\, 4x_1 + 5x_2) \]

---

再考虑另一个线性变换 \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \)，定义如下：

\[ T(x_1, x_2) = (6x_1 - 8x_2,\, -5x_1 + 7x_2) \]

其标准矩阵为：

\[ A = \begin{bmatrix} 6 & -8 \\ -5 & 7 \end{bmatrix} \]

计算行列式：

\[ \det A = (6)(7) - (-8)(-5) = 42 - 40 = 2 \neq 0 \]

行列式非零，故 \( A \) 可逆，从而 \( T \) 可逆。

设 \( T^{-1}(\mathbf{x}) = B\mathbf{x} \)，其中 \( B = A^{-1} \)。利用逆矩阵公式：

\[ A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \]

于是得到逆变换的表达式：

\[ T^{-1}(x_1, x_2) = \left( \frac{7}{2}x_1 + 4x_2,\, \frac{5}{2}x_1 + 3x_2 \right) \]

---

设 \( T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) 是一个可逆的线性变换。下面说明它既是一对一（单射），又是映上（满射）到 \( \mathbb{R}^n \) 的。

一对一性（单射）： 假设 \( T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) \)。令 \( S \) 为 \( T \) 的逆变换，则有：

\[ S(T(\mathbf{u})) = S(T(\mathbf{v})) \]

由方程 (1)：\( S(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x} \)，可得：

\[ \mathbf{u} = S(T(\mathbf{u})),\quad \mathbf{v} = S(T(\mathbf{v})) \Rightarrow \mathbf{u} = \mathbf{v} \]

因此，\( T \) 是一对一的。

满射性（映上）： 对任意 \( \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n \)，取 \( \mathbf{x} = S(\mathbf{y}) \)，则：

\[ T(\mathbf{x}) = T(S(\mathbf{y})) = \mathbf{y} \]

由方程 (2) 成立，说明每个 \( \mathbf{y} \) 都在 \( T \) 的像中，故 \( T \) 是映上的。

第二种解释： 根据定理 9，\( T \) 的标准矩阵 \( A \) 可逆。再由可逆矩阵定理（IMT），矩阵 \( A \) 的列向量组线性无关且张成整个 \( \mathbb{R}^n \)。这意味着 \( T \) 的核仅为零向量（保证单射），且值域为全空间（保证满射）。因此，\( T \) 同时满足单射与满射性质，即为双射，从而可逆。

考虑线性变换 \( T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \)，其标准矩阵为 \( A \)，即 \( T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} \)。已知存在两个不同的向量 \( \mathbf{u} \neq \mathbf{v} \) 满足 \( T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) \)，这意味着：

\[ T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) \Rightarrow A\mathbf{u} = A\mathbf{v} \Rightarrow A(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = \mathbf{0} \]

令 \( \mathbf{w} = \mathbf{u} - \mathbf{v} \)，则 \( \mathbf{w} \neq \mathbf{0} \)，但 \( A\mathbf{w} = \mathbf{0} \)。这表明齐次方程 \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) 存在非零解。

根据线性代数中的可逆矩阵定理（IMT），对于一个 \( n \times n \) 的方阵 \( A \)，以下条件等价：

• \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) 只有零解
• \( A \) 的列向量线性无关
• \( A \) 是可逆的
• \( A \) 具有 \( n \) 个主元位置
• 变换 \( T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} \) 是一对一的

由于此处 \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) 有非零解，说明 \( A \) 的列向量线性相关，因此 \( A \) 不可逆，且 \( T \) 不是一对一的。进一步地，列向量线性相关意味着列空间的维度小于 \( n \)，因此无法张成整个 \( \mathbb{R}^n \) 空间。

由此可得结论：若存在 \( \mathbf{u} \neq \mathbf{v} \) 使得 \( T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) \)，则 \( T \) 不能将 \( \mathbb{R}^n \) 映上到 \( \mathbb{R}^n \)。因为映上的前提是列空间等于 \( \mathbb{R}^n \)，而当前列空间维数不足。

接下来分析另一个问题：设线性变换 \( T \) 将 \( \mathbb{R}^n \) 映上到自身，则由 1.9 节定理 12 可知，\( T \) 的标准矩阵 \( A \) 的列生成 \( \mathbb{R}^n \)。结合可逆矩阵定理（IMT），可知 \( A \) 可逆，因此 \( T \) 可逆，且其逆变换 \( T^{-1} \) 的标准矩阵为 \( A^{-1} \)。

由于 \( A^{-1} \) 也是可逆矩阵，其列既线性无关又能生成 \( \mathbb{R}^n \)，故由 1.9 节定理 12 得出 \( T^{-1} \) 是从 \( \mathbb{R}^n \) 到 \( \mathbb{R}^n \) 的一对一且映上的变换。

结论：\( T^{-1} \) 存在，并且它既是映上又是一对一的。

再考虑两个线性变换 \( T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) 和 \( U: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \)，满足对所有 \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \)，都有 \( T(U(\mathbf{x})) = \mathbf{x} \)。设 \( A \) 和 \( B \) 分别为 \( T \) 和 \( U \) 的标准矩阵，则复合映射 \( \mathbf{x} \mapsto T(U(\mathbf{x})) \) 对应的标准矩阵为 \( AB \)，且由条件知 \( AB = I \)。

由于 \( A \) 和 \( B \) 均为 \( n \times n \) 方阵，且 \( AB = I \)，根据矩阵理论中的性质，可推出 \( BA = I \)，即 \( U(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x} \) 对所有 \( \mathbf{x} \) 成立。

因此可以得出结论：当 \( T(U(\mathbf{x})) = \mathbf{x} \) 对所有 \( \mathbf{x} \) 成立时，必有 \( U(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x} \) 同样成立。

综上所述：

• 若 \( T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) \) 对某些 \( \mathbf{u} \neq \mathbf{v} \) 成立，则 \( T \) 既不是一对一的，也不能映上到 \( \mathbb{R}^n \)；
• 若 \( T \) 映上到 \( \mathbb{R}^n \)，则 \( T^{-1} \) 存在，且它也是一对一并映上的；
• 若 \( T(U(\mathbf{x})) = \mathbf{x} \) 对所有 \( \mathbf{x} \) 成立，则 \( U(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x} \) 也必然成立。

设 $ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n $ 是一个可逆的线性变换，且存在两个从 $ \mathbb{R}^n $ 到 $ \mathbb{R}^n $ 的函数 $ S $ 和 $ U $，满足对所有 $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $，均有：

$ S(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x} $ 与 $ U(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x} $。

需要证明：对于任意 $ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n $，都有 $ U(\mathbf{v}) = S(\mathbf{v}) $。

由于 $ T $ 是可逆的线性变换，因此它既是单射也是满射。特别地，满射性质保证了对任意 $ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n $，总存在某个 $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $，使得 $ \mathbf{v} = T(\mathbf{x}) $。

考虑任意给定的 $ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n $，由上述结论可知存在 $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 满足 $ \mathbf{v} = T(\mathbf{x}) $。将此代入 $ S $ 和 $ U $ 的定义中：

$ S(\mathbf{v}) = S(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x} $，

同理，

$ U(\mathbf{v}) = U(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x} $。

因此可得 $ S(\mathbf{v}) = \mathbf{x} = U(\mathbf{v}) $，即对所有 $ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n $，有 $ S(\mathbf{v}) = U(\mathbf{v}) $。

这说明函数 $ S $ 与 $ U $ 在整个 $ \mathbb{R}^n $ 上完全一致。

结论：$ S $ 和 $ U $ 实为同一映射，故线性变换 $ T $ 的逆是唯一的。

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关键词：线性代数及其应用 矩阵代数 线性代数 习题答案 可逆矩阵

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