关于Arrow-Pratt测度一个问题

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Suppose that a vNM utility function u(w) displays constant absoute risk aversion(CARA), so that R(w)=a>0 for all w,Show that u(w) must be a positive affine transformation of -e^(-aw).


在这个问题中，是说如果阿罗-帕拉特测度是一个正常数的话，那么效用函数定是一个 关于-e^(-aw)的正仿射变换，u(w)=-c e^(-aw)+d  (c>0)


证明必要性可以假设函数是这个u(w)=-c e^(-aw)+d  (c>0) 形式，求出R(w)=a

充分性怎么证明呢？

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关键词：arrow pratt ARR ATT transform function positive displays

设有：f(x)；则Arrow-Pratt=-f''/f'。对于u(w)：
证明:
-u''/u'=a，a>0；u''+au'=0，这个二阶微分方程的特征方程为：t²+at=0,特征根为-a，0；
有两个不相等实数根，那么其通解必然是w=C1e^(-aw)+C2e^(0)，所以具有形式：
u(w)=c1e^(-aw)+d

u(w)=c1e^(-aw)+d
u'=-ac1e^(-aw)>0
则才
c1<0
所以可以写成形如：u(w)=-ce^(-aw)+d，c>0

andalis 发表于 2012-10-17 16:43
设有：f(x)；则Arrow-Pratt=-f''/f'。对于u(w)：
证明:
-u''/u'=a，a>0；u''+au'=0，这个二阶微分方程的特 ...

多谢赐教！