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事件：有0.7的概率扩大2倍，0.3的概率减少50%。
这个事件发生两次，初始值为1。所以最终结果是：0.49概率为4、0.42概率为1、0.09概率为0.25。
因此结果的期望=0.49*4+0.42*1+0.09*0.25=2.4025.

以上算法是最基础的简单算法。还可以这样算：

  上述分布可以看成二项分布，两次独立的在A、B中选择，选择A的概率为0.7、选择B的概率为0.3，A对应的结果是扩大2倍、B对应结果是缩小0.5倍。

方法2：由于是需要做两次选择，一次选择结果的期望值=0.7*2+0.3*0.5=1.55倍，所以做了两次选择结果的期望=1.55^2=2.4025倍。
因此方法2计算结果与方法1相同。

方法3：由于A发生的结果是扩大2被，B发生的结果是缩小0.5倍。所以我们可以计算出A发生次数的期望值、B发生次数的期望值，根据二项分布次数的期望=n*p，我们可以得知：A发生的次数期望值=2*0.7=1.4、B发生次数的期望值=2*0.3=0.6。所以最终期望结果是A发生了1.4次、B发生了0.6次，那么结果=（2^1.4）*（0.5^0.6）=1.74.

问题：为什么方法3算出来的结果不正确？明明发生的次数的期望是正确的，为什么这么计算的结果不正确呢？第一个回答出来奖励20论坛币

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方法3的错误在于，若进行两次实验，则实验结果不再是A,B，而是①扩大4倍，②不变（2*0.5）③缩小为1/4，因此此时计算各事件的期望发生次数如方法1，答案也同

这个例子很好地说明，很多数学问题不能靠“直觉”。要算数学期望，就要从其数学定义出发，不能靠“直觉”。方法1是从定义走的方法，方法2能成功是由于当X和Y独立时，有一个数学期望的性质：E（XY）=E(X)E(Y)，（即：把X看成是一个0.7概率取值为2，0.3概率取值为0.5的随机变量，Y也是如此定义的随机变量）。方法3就只是“直觉”了，数学期望没有这个性质。
我举个比你那个更简单的例子：X是0.5概率取值为0，0.5概率取值为1的贝努利随机变量，定义Z=2^X，那么是否可以有种算法是E(Z)=2^(E(X))=2^0.5吗？当然不是（因为数学期望没这种性质），按数学期望的定义计算就是E(Z)=0.5*(2^0)+0.5*(2^1)=1.5。注意这不是2项或某种分布不能用第3种算法的问题，所有的分布都不可以用象第3种算法（或其他不符合数学期望定义也不符合数学期望性质的算法）算期望的。

TaskShare 发表于 2013-5-6 00:21
这个例子很好地说明，很多数学问题不能靠“直觉”。要算数学期望，就要从其数学定义出发，不能靠“直觉”。 ...

非常感谢，好久没有摸数学了。你一点我恍然大悟，确实方法3是我的感性认识。