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1、

考虑一个作决策的消费者，他的初始财富是一个随机变量。财富在状态 s1（没有损失）下是w ，在状态s2 （有损失）下是w-l 。状态s2 发生的概率是p 。

该消费者可以选择购买保险。购买一单位保险，如果状态s2 发生，他将获得V 的补偿（假定V>1 ），如果状态s2 未发生，投保费还是从财富中扣除。即购买c 单位保险，如果状态s2 发生，消费者将获得cV 的补偿，如果状态 s2未发生，消费者的财富将是w-c 。该消费者可以购买任意数量的保险。

假设消费者的决策满足所有的偏好公理，且效用函数定义在两个状态(x1,x2) 上，即

(1-p)×u(x1)+p×u(x2)

（a）       写出购买最优保险的一阶条件。（提示： ）

（b）       当V 取什么值时，消费者会购买完全保险。（完全保险是指购买保险后， 和 两种状态下的消费是相等的。）

（c）       如果V 固定，证明p 增加会导致购买保险额增加，即dc/dp>0

2、

一个期望效用最大化的风险规避者在 期拥有初始财富W0 。她可以在 期将财富投资在无风险资产上：投资1美元，只能获得1美元；也可以在 期将财富投资在风险资产上：投资1美元，可以获得 美元。在 期，她又将选择如何配置她的资产。同样，她可以在 期将财富投资在无风险资产上；也可以在 期将财富投资在风险资产上：投资1美元，可以获得 美元。 是独立同分布的，密度函数为 。 的期望值均大于1，即 。令 表示投资者在 期投资在风险资产上的比例， 表示投资者在 期投资在风险资产上的比例，投资者只关心她的最终财富（即在 期的财富）。请判断下列说法是否正确，并给予证明。

 

（a）在 期，投资者投资在风险资产上的数量一定严格为正（即 ）。

（b）在 期，投资者投资在风险资产上的数量一定严格为正（即 ）。

（c） 。

一个期望效用最大化的风险规避者在 期拥有初始财富W0 。她可以在 期将财富投资在无风险资产上：投资1美元，只能获得1美元；也可以在 期将财富投资在风险资产上：投资1美元，可以获得 美元。在 期，她又将选择如何配置她的资产。同样，她可以在 期将财富投资在无风险资产上；也可以在 期将财富投资在风险资产上：投资1美元，可以获得 美元。 是独立同分布的，密度函数为 。 的期望值均大于1，即 。令 表示投资者在 期投资在风险资产上的比例， 表示投资者在 期投资在风险资产上的比例，投资者只关心她的最终财富（即在 期的财富）。请判断下列说法是否正确，并给予证明。

 

（a）在 期，投资者投资在风险资产上的数量一定严格为正（即 ）。

（b）在 期，投资者投资在风险资产上的数量一定严格为正（即 ）。

（c） 。

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