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Fixed Income Models-Damir Filiporie

Contents
1 Introduction 7
2 Interest Rates and Related Contracts 9
2.1 Zero-Coupon Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Market Example: LIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Simple vs. Continuous Compounding . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Forward vs. Future Rates . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Bank Account and Short Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Coupon Bonds, Swaps and Yields . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Fixed Coupon Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 Floating Rate Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.3 Interest Rate Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.4 Yield and Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Market Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.1 Day-count Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 Coupon Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.3 Accrued Interest, Clean Price and Dirty Price . . . . . 24
2.5.4 Yield-to-Maturity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Caps and Floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Statistics of the Yield Curve 33
3.1 Principal Component Analysis (PCA) . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 PCA of the Yield Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Estimating the Yield Curve 39
4.1 A Bootstrapping Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 BondMarkets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2 MoneyMarkets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.4 Parametrized Curve Families . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 Why Yield Curve Models? 65
6 No-Arbitrage Pricing 67
6.1 Self-Financing Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Arbitrage andMartingaleMeasures . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Hedging and Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Short Rate Models 77
7.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 Di usion Short RateModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3 Inverting the Yield Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.4 Ane TermStructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.5 Some StandardModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.5.1 VasicekModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.5.2 Cox{Ingersoll{Ross Model . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.5.3 DothanModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.5.4 Ho{LeeModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.5.5 Hull{WhiteModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.6 Option Pricing in AneModels . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.6.1 Example: Vasicek Model (a, b, const, =0). . . . . 92
8 HJM Methodology 95
9 Forward Measures 97
9.1 T-Bond as Numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.2 An Expectation Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.3 Option Pricing in Gaussian HJMModels . . . . . . . . . . . . 101

10 Forwards and Futures 105
10.1 Forward Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.2 Futures Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.3 Interest Rate Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.4 Forward vs. Futures in a Gaussian Setup . . . . . . . . . . . . 109
11 Multi-Factor Models 113
11.1 No-Arbitrage Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.2 Ane Term Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.3 Polynomial TermStructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11.4 Exponential-Polynomial Families . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11.4.1 Nelson{Siegel Family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11.4.2 Svensson Family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12 Market Models 127
12.1 Models of Forward LIBOR Rates . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.1.1 Discrete-tenor Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.1.2 Continuous-tenor Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
13 Default Risk 145
13.1 Transition and Default Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.1.1 HistoricalMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
13.1.2 Structural Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
13.2 Intensity BasedMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
13.2.1 Construction of Intensity BasedModels . . . . . . . . . 156
13.2.2 Computation of Default Probabilities . . . . . . . . . . 157
13.2.3 Pricing Default Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
13.2.4 Measure Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

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