关于协整的疑问

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按照协整定义，如果两个变量y_i都是d阶单整的，若存在非零向量B，使得By_i~I(d-b)，0<b<d，称y_i是协整的。

问题一：如果d=1即两个变量都是一阶单整的，协整方程的残差为I(0)即平稳的，则变量是协整的。很多教材上的例题都是这样做的。那么，E-G协整检验法只适合于d=1的情况吗？

问题二：假设d=3,  b=2,  则By_i~I(1)，这时残差是I(1)吗？那么变量协整吗？

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关键词：疑问

一点点意见：

1.     对第一个问题，一般来说，用EG检验方法处理d=1的情况是毫无疑问的。对于d不等于1的情况，我个人认为也是可以的，原理大概差不多。但是比较麻烦，关于这方面的文献，以前没有关注这个问题，见到的文献很少。个人理解认为麻烦一个主要的原因在于，用EG方法要对残差序列进行阶数检验，在d=1的情况下是残差的平稳性检验，看残差是否含有单位根来判。常见的平稳性检验比如ADF和KPSS都可以。对于d大于1的情况，残差序列的阶数可能比较高。对残差不停地差分，再重复地检验残差序列的阶数感觉繁琐。因此很多人可能都不会去研究。

2.     对第二个问题，已经不满足EG所提线性协整概念的条件了。但我仍然认为可以是协整，但变量序列之间必须符合经济理论。这方面的文献较少，你可以看Enders的《Applied Econometric Time Series》书，论坛上有第一版的电子书，在358-359页上。第二版的电子书网上还没有（希望哪位有的兄弟贡献出来分享），第二版的中文译本市场上有卖，好像是川大的王少平翻译的。比第一版更详细一点，好像提到了一两篇参考文献。关于第二个问题，你可以找这本书看看。

 

多谢yzeagle!

你说的Enders的《Applied Econometric Time Series》第二版中译本(川大的杜江等译，高等教育出版社2006年6月第二版),这本书我是有的。书上对我的问题果然有解释（但有些我还不能确定）：

该书第307-308页指出了关于协整定义需要注意的四个方面。

其中第四个方面解释了我的问题，书上写道：“大多数协整的相关研究集中在每个变量只有一个单位根的情况，其原因是古典回归分析或时间序列分析的应用建立在变量是I(0)的条件下，而极少的经济变量是单整阶数大于1的变量。当明确这一点时，许多学者就用协整讨论CI(1,1)变量的情况。例如，一组I(2)变量可能是CI(2,1)阶协整，所以存在一个线性组合是I(1)。”

上面这段话的前两句解释了我的第一个疑问。最后一句与我的第二个疑问有关：我的第二个疑问中有两个问题，现在我能确定变量是CI(3,2)阶协整，但是残差是I(1).

该书第307页指出：“理论上而言，在一组非平稳变量中，极有可能存在非线性的长期均衡关系。不过，关于非线性协整的检验，计量经济学的研究才刚刚开始。”这里所谓的“非线性的长期均衡关系”是不是指诸如“CI(3,2)阶协整，残差是I(1)”的情况？

对于您说的“对第二个问题，已经不满足EG所提线性协整概念的条件了”，我还不明白，什么是“线性协整的条件”？敬请进一步解释。

理论上而言，在一组非平稳变量中，极有可能存在非线性的长期均衡关系。不过，关于非线性协整的检验，计量经济学的研究才刚刚开始。”这里所谓的“非线性的长期均衡关系”是不是指诸如“CI(3,2)阶协整，残差是I(1)”的情况？

哥们可以看看张世英的书关于非线性协整的问题。

我个人理解非线性协整应该协整方程的非线性形式。

最近比较郁闷，没法到图书馆借书。asdfgh的问题不好用书上的具体内容来回答。xuelida理解的非线性协整应该协整方程的非线性形式也是对的。

对于非线性协整，张世英的书提供了一个比较泛的概念，两个文献供参考：

[1]   Saikkonen, P., Choi, I. Cointegrating smooth transition regressions. Econometric Theory, 2004, 20: 301-340.

[1]   Saikkonen, P., Choi, I. Cointegrating smooth transition regressions. Econometric Theory, 2004, 20: 301-340.

[2]   Gonzalo, J., Pitarakis, J.Y. Threshold effects in cointegrating relationships. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 2006, 68(s1): 813-833.

还有解释吗?

张世英老师的<协整理论与波动模型>的第5章“非线性协整理论”的确专门研究了非线性协整问题。不过，本人学识肤浅，对张老师的书基本上没学好。

从通常的文章来看（国内的），在协整检验时，主要检验协整方程的残差是否平稳。现在看来，这是不完整的。因为对于CI(3,2)阶协整，其残差是I(1)而不是平稳的，但变量是协整的。是这样吗？