kalman 滤波只是一种叠代算法， 举个例子：如果我们要从GDP数据中提取出周期性的成分，要利用kalman filter 的话， 首先我们必须对数据的结构做一个假设： GDP=周期+增长， 周期服从一个ARMA过程，增长服从随机游走，该模型叫做 unobserved component model (UC), 意思是GDP 是观察到的，而周期和增长是看不到的，这个模型需要估计的参数有 ARMA的系数和innovation的方差，以及随机游走的innovation的方差。这个模型可以写成 state-space 形式，而kalman filtering 就是基于state-space形式，把各期周期和增长的值用叠代算法估计出来（原理是线性投影），当然各期的估计值是待估参数的函数，进一步用极大似然估计得到各个参数的估计。Hamilton 的时间序列 第15章有很详细的介绍，还有他为计量经济学手册写的一章介绍：
214790.pdf
(1.97 MB)
state-space model 可以参考 Clark QJE 1987 的文章：
214792.pdf
(406.93 KB)
HP filter 可以用来从数据中提取出周期性成分， 但在周期的不同定义下，它有不同解释：
1。如果把周期定义为 围绕一个随机增长的平稳随机过程（UC model 对周期的定义），那么HP filter 在某些假设下是一个最优的 Wiener 滤波器，关键是数据不一定符合某些假设，所以 HPfilter 会产生很多误导的结果（distortionary effect），关于这个问题，90年代有很多文献，这里列几篇比较有代表的：
214794.pdf
(37.24 KB)
214796.pdf
(1.1 MB)
2。有些经济学家（如King，JME的主编）把周期定义为 频率在某个区间段上的成分，在这个定义下，HP filter 可以看成是近似的高通（high-pass）滤波器，即它把低频的成分过滤掉了，这点你可以通过它的传递函数看出来。 由于HP 只是一个近似的filter，所以难免会产生问题，关于这类问题文章也很多
最近的一篇是：
214799.pdf
(239.35 KB)
当然，目前对周期的定义还没有一个共识，但不管怎么样，掌握一些科学的数据分析方法（这些方法都是从工程中借鉴的，Prescott 当年写这个滤波器的时候在卡内基工学院）是非常必要的，因为做宏观模型到最后都需要做 simulation,然后把模型产生的数据与真实的数据作比较，如果你连真实的数据都没有分析好，必然会产生严重的后果。
以上是我的一点看法，希望对你有用。
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