E(XU)=0与E(X|U)=0等价吗?如何推导？

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E(XU)=0与E(X|U)=0等价吗?如何推导？

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关键词：如何

如果X与U相互独立，那么
\[\mathbb{E} (X \mid U) = 0 \Rightarrow \mathbb{E} (XU)=0\]
反之不一定。
但一般情况下应该可能会不独立的
假设联合密度函数为f(x,u)，根据题目意思
\[\begin{align*} \mathbb{E} (XU) &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} xuf(x,u) ~ \mathrm dx \mathrm du = 0 \\ \mathbb{E} (X \mid U) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \frac{f(x,u)}{f_U(u)} ~ \mathrm dx = 0 \end{align*}\]

---

但是一般来说不会单独出现这种写法：\[\mathbb{E} (X \mid U)\]
而应该写作：
\[\mathbb{E} (X \mid U=u)\]
表明U取到某个特定值。

以及：
\[\mathbb{E} (X)=\mathbb{E} (\mathbb{E} (X \mid U))\]
这表示重期望

E(XU)=0与E(X|U)=0

在X与U相互独立的情况下，E(X|U)=E(X)，如果E(X)=0，那么E(XU)=E(X)E(U)=0

╰不滅信念 发表于 2014-11-5 09:23
如果X与U相互独立，那么

反之不一定。

会用latex的就是好啊！！！数理基础扎实，牛逼

可惜 我的理论功底在逐渐消退！

fantuanxiaot 发表于 2014-11-5 10:06
会用latex的就是好啊！！！数理基础扎实，牛逼

可惜 我的理论功底在逐渐消退！

其实我想说。。才学latex两周。。只会点公式还不会论文排版（其实论坛上敲点公式已足矣）