随机过程 多个版本 及其随机微分方程 [讨论贴]

有感而发！

首先恭祝大家圣诞快乐！新年快乐！

其次，谢谢mathtao版主的奖励！

最近实在太忙，有一段时间没来了，不好意思。yyeric的问题不少，好在有sheepmiemie学友主动“代”我作答。他是好心人，非常感谢！

然而，人大经济论坛（很大程度上）是一个以学术为主的论坛，大家上来，相互讨论，相互讨教，也不一定指定了某人回答问题，碰到了解的，谁都可以提出自己的见解。所以也不应该存在代人回答的情况。所以，sheepmiemie学友是太客气了。此外，我发现他在论坛上为大家提供了非常多的帮助，有那么多的人感谢他，觉得他还是一个热心的人。出于尊敬，就在他的网名之后加上“学友”二字。论坛就该这样，希望大家向他学习。

不知为何，sheepmiemie学友将我称为“白先生”。认错人了？嘿嘿，白也好，黑也好，也没什么重要。无法解释，就来个不置可否。

与sheepmiemie学友相比，也有人表现不同。一幅高人模样，满眼瞧不起我们这些低水平的言论。这是正常的，纯数学向来不大瞧得上应用，这个我是深有体会。唉，我年龄大了，尽管非常喜欢，但搞不动理论数学了，就认命做应用数学。理论谈何容易，说句实话，对于大部分人，除了一点天赋，还需要练童子功的，讲究的是名门正派。想想坛子里大部分人都不是数学出身，为了随机过程去练测度论，那么恐怖的东东，需要多少时间？有多大可能？弄得不好还走火入魔。所以从实际出发才是对的，不明白多找人请教指点，慢慢见得多了，熟悉了，也就习惯了。

许多数学，本质而言，是用来欣赏的。大陆外一个统计高手，原来只做纯理论，向来发文章挑杂志，不是顶尖级的杂志不投。今年他告诉我，他正在对应用感兴趣，而且他很佩服那些将理论用于解决实际问题的人。“纯粹的谁不会？”他说，“大家都是学这个的。但是，难的是用它解决一些实际问题。”是的，国外的数学早就变了，人家是理论应用并重，今天中国也在变。我的老板一直要求弟子们“顶天立地”，就是理论要力争达到前沿，应用要务必做到最实际。

就概率统计而言，公认大陆的统计不够好。统计原来只有一个院士，陈希孺先生，现在去世了。概率方面，目前五个院士吧，包括陈木法先生。曾聆听过这些高人之中几位先生的教诲，人家讲东西就是那样简单清晰，能把极其抽象复杂的内容用最直观、最容易理解的方式说清楚，听来恍然大悟，这就是大家。他们中大多数做人也好，绝没有那种高人模样，谦虚且给别人面子，动不动就“啊，这个我不太懂。能不能再向我解释一下！”大家不知道，陈希孺先生生前（当上院士以后）还为别人的提职称而代写文章呢。足见他的单纯善良可爱。相反，现实中许多的老师却是最善于把简单的东西复杂化，故弄玄虚，让听者摸不着头脑。差别大了去了。

我想，我们用不着为数学的高深而烦恼痛苦。随机过程，书卷文献浩如烟海，对非数学专业的人，敢于接触它已经是很厉害的了；若要正式下苦功，最多到Ross就封顶吧，足够了。不必着急，慢慢试着去品味去喜欢。随机过程，说穿了，不就是人的一生吗！

祝各位顺利，快乐！

[此贴子已经被作者于2008-12-24 10:06:00编辑过]

有感而发完了，也安静了许多。下面解释一下yyeric的问题中sheepmiemie学友尚未回答的部分。

设连续时间Markov链的状态空间为S（至多包含可数个状态的离散集），其转移概率函数P_ij(t) 在t=0处的右导数q_ij 形成一个矩阵Q=(q_ij)_i,j∈S，称为该链的Q-矩阵. 对于一个时齐的连续时间Markov链而言，这个Q-矩阵就决定了它的转移概率的性质.
    其中q_ij 的定义可见sheepmiemie学友在29楼粘贴的pdf附件，我就不再写出了. 注意到一个细节：q_i=－q_ii，可以看出对任一状态 i∈S，q_i 实际上表示链离开状态 i 的“速率”；而对 i ≠j，q_ij 则表示链从状态 i 转移到状态 j 的“速率”. 对于一般的连续时间Markov链，可以证明
    1) 对一切 i∈S，－∞≤q_ii ≤0（亦即0≤q_i≤∞）；
    2) 对一切 i,j∈S，0≤q_ij<∞；
    3) ∑_j≠i (q_ij) ≤q_i.
问题就出在3). 既然离开状态 i 总会进入另一个状态，因此，直观上应该取等号才显得合理.
    同时，我们知道时齐的连续时间Markov链在任一状态 i 的停留时间服从指数分布，这个q_i 也是该指数分布的参数. 于是q_i =0的状态就是吸收态，q_i =∞的状态就是瞬逝态，而满足0<q_i<∞的状态称为稳定态. 另外，一个稳定态 i 称为是保守的，如果它使得3) 式取等号，即∑_j≠i (q_ij) =q_i ；或者非保守的，如果∑_j≠i (q_ij) <q_i.
    这样，“保守”就是一种正常的、符合逻辑的性质. 有限状态空间的链的所有状态肯定满足这个性质，sheepmiemie学友已经给出了一个证明. 但若是可数无穷的状态空间，则不一定. 直观上，“非保守”是一种病态性质，因为当链从这样的一个状态 i 离开后，按陈培德先生的说法，将以一正概率1－[∑_j≠i (q_ij)]/q_i  “无所适从”. 链的转移出现了“真空”，直观上不好理解，也不好解释了.
    这仅是个人理解，对不对，还要大家讨论. 欢迎提意见. 有兴趣的话，以上内容可参考陈培德“随机数学引论”，科学出版社2001，P178-187.

[此贴子已经被作者于2008-12-24 9:24:49编辑过]

mathtao  金钱 +100  魅力 +50  经验 +50  奖励 2008-12-25 10:59:08

不知随机分析 或者说 随机积分 大家有什么推荐的书吗？ 先谢过了~

另外想问一下 各位老师对国内这方向的书有什么推荐吗？ 严加安老师的书是很好 不过就是苦于找不到例子啊，，，

请教一个有关local martingale的问题： http://en.wikipedia.org/wiki/Local_martingale

第一个例子就没看懂：为什么这里的X_t 就是一个local martingale了？ τ_k = min{t:X_t = k}.为啥reduce这个过程啊？这里的τ_k 好像是属于（0，1）的 而local martingale的定义不是说τ_k 要发散到正无穷吗？

更主要的是这个例子直观上怎么理解啊？ 有点像是把（0，+无穷）的winner过程压缩到（0，1）？

[此贴子已经被作者于2009-2-22 23:08:55编辑过]

如何理解功率谱？卷积？

小弟初学随机  请问如何求下列导数的定积分请注明过程

dBt*=dBt-Xtdt

谢谢

我认为他写的不对，忽略掉time change那段就没问题了

我的理解不是这样的，所谓不等的情况实际只是等于的情况的一种特例而已。在状态空间内加入一点\infty，成为absorbing point，一旦陷入此点将无法自拔，永无逃脱。把缺少的概率定义成转移到此点的概率即可。

我认为缺少的概率是转移到吸收点去了