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Introductory Econometrics
Contents
1 Review of simple regression 3 1.1 The Sample Regression Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Interpretation of regression as prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Regression in Eviews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Goodness of t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Derivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.1 Summation notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.2 Derivation of OLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.3 Properties of predictions and residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Statistical Inference and the Population Regression Function 24 2.1 Simple random sample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Population distributions and parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Population vs Sample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 The Population Regression Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6 Statistical Properties of OLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.1 Properties of Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6.2 Unbiasedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.3 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6.4 Asymptotic normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Hypothesis Testing and Condence Intervals 37 3.1 Hypothesis testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1 The null hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2 The alternative hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.3 The null distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.4 The alternative distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.5 Decision rules and the signicance level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.6 The t test theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.7 The t test two sided example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.8 The t test one sided example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.9 p-values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.10 Testing other null hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Condence intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 Prediction intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.1 Derivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1
4 Multiple Regression 55 4.1 Population Regression Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Sample Regression Function and OLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3 Example: house price modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4 Statistical Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.5 Applications to house price regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.6 Joint hypothesis tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.7 Multicollinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.7.1 Perfect multicollinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.7.2 Imperfect multicollinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Dummy Variables 69 5.1 Estimating two means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2 Estimating several means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3 Dummy variables in general regressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.3.1 Dummies for intercepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.3.2 Dummies for slopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 Some non-linear functional forms 80 6.1 Quadratic regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.1.1 Example: wages and work experience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2 Regression with logs explanatory variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.2.1 Example: wages and work experience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.3 Regression with logs dependent variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.3.1 Example: modelling the log of wages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.3.2 Choosing between levels and logs for the dependent variable . . . . . . . . . 94 6.4 Practical summary of functional forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 Comparing regressions 98 7.1 Adjusted R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.2 Information criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3 Adjusted R2 as an IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8 Functional form 100
9 Regression and Causality 100 9.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.2 Regression for prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.3 Omitted variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 9.4 Simultaneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9.5 Sample selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10 Regression with Time Series 105 10.1 Dynamic regressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.1.1 Finite Distributed Lag model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.1.2 Autoregressive Distributed Lag model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.1.3 Forecasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.1.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.2 OLS estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 10.2.1 Bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2
10.2.2 A general theory for time series regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.3 Checking weak dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.4 Model specication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.5 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 10.5.1 Interpretation of FDL models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 10.5.2 Interpretation of ARDL models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11 Regression in matrix notation 127 11.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11.2 Addition and Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 11.3 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.4 The PRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.5 Matrix Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 11.6 OLS in matrix notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.6.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.7 Unbiasedness of OLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 11.8 Time series regressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


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