以下是引用数风代韵在2008-10-2 0:17:00的发言：麻烦大家一个随机过程的问题！谢谢……
文字文字文字
设{Ni(t),t>=0},i=1.……n是n个相互独立的泊松过程，参数分别为yi.记T为全部n个过程中，至少发生一个事件的时刻。
（1）求T的分布；
（2）求当n个过程中，只有一个事件发生时，它是属于{N1（t）}的概率。
以上是题目。其中i等下标由于我不会用那个编辑器，所以没有编辑，大家见谅，我是新手，看我问的问题就知道了！
麻烦各位大虾指导一下！谢谢！ 
我尝试一下。。。
1）首先，考虑任意1个Poisson Process：Ni(t) ，记发生第1个事件的时间为Ti，那么Ti的分布就是exponential distribution，hazard rate = yi。
这个应该熟记了。。。如果要证明，那么考虑Poisson Process的时间t内发生0的概率是e^(-yi*t)。这个也就是“时间t内发生0次的概率”，也就等于“1减去 第1次发生在时间t以内的概率”，后者也就是exponential distribution的survival function。对(1-e^(-yi*t))求导，得到它的pdf：fTi = yi*e^(-yi*t)。
然后，问题要求的是，所有n个过程中，至少发生1个事件。这也就等同于，所有n个独立的“第1个事件发生时间Ti ” 中的最早的1个。也就是T = min(T1,T2,T3,...,Tn) 的分布。
根据exponential distribution 的特点 （也就是hazard rate的含义），显然这个等同于1个hazard rate y = y1+y2+y3+...+yn的新的exponential distribution。也就是说问题要找的pdf是：
fT = y * e^(-y*t) 其中 y = y1+y2+y3+...+yn。
***如果要细究其中的推导，那么。。。最小的那个的概率可以通过survival function推导。
***Pr(T>t) = Pr(所有Ti>t）= Pr(T1>t)*Pr(T2>t)*Pr(T3>t)*...*Pr(Tn>t) = [e^(-y1*t)]*...*[e^(-yn*t)] = e^(-y*t) 其中y定义如上。
***那么pdf就是1-Pr(T>t)再求导，答案如上。
### 写完这2步骤，发现其实可以合并。。。懒得改了。这样理解起来应该也不麻烦。
2）这是1个条件概率：
Pr({N1(t)=1}|{只有1个事件发生}) = Pr({N1(t)=1}并{其他Ni=0}) / Pr({只有1个事件发生})
分母是n种情况的概率之和，而分子是其中一种情况：N1发生了1次，其他都没发生，记分子为p1。
***好吧。。。我承认第1次做中文的题目。。。语义可能理解不够， 所谓“只有1个事件发生时”，我就理解为“在时间t内第1个事件发生了，（而第2个还没有发生）”。那么，承接上题的思路
p1 = Pr(T1<=t)*Pr(T2>t)*Pr(T3>t)*...*Pr(Tn>t) = [1-e^(-y1*t)]*[e^(-y2*t)]*...*[e^(-yn*t)] = e^(-y*t)*[e^(y1*t)-1]
类似的。。可以算出p2,p3...pn分别代表某过程发生1次事件，其他过程发生0次的概率。
所以，分母= p = p1+p2+...+pn = e^(-y*t)*[e^(y1*t)+e^(y2*t)+...+e^(yn*t) - n]
所以，答案=分子/分母= [e^(y1*t)-1] / [e^(y1*t)+e^(y2*t)+...+e^(yn*t) - n]
大概就是这样了。。。如果语义理解错误请不要打我=_=......
wesker1999 金钱 +50 奖励 2008-10-2 18:46:37
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