首一最大公因式不随数域的改变而改变(高等代数)

设f(x),g(x)∈K[x],数域F包含K,则f(x)与g(x)在K[x]中的首一最大公因式等于它们在F[x]中的首一最大公因式。

证明过程大概是，在K[x]中对f(x)与g(x)作辗转相除法，设最后一个不等于0的余氏是r(x)，其首项系数为c，则1/c * r(x)是f(x)与g(x)在K[x]中的首一最大公因式，因此f(x)与g(x)在K[x]中的辗转相除法可看作f(x)与g(x)在F[x]中的辗转相除法，从而1/c * r(x)是f(x)与g(x)在F[x]中的首一最大公因式。

问：这里只是给出了，已知K[x]中存在一个首一最大公因式，则K[x]中f(x)与g(x)的首一最大公因式就是f(x)与g(x)在F[x]中的首一最大公因式。如果给出F[x]中存在一个f(x)与g(x)的首一最大公因式，如何证明它就是K[x]中的f(x)与g(x)的首一最大公因式呢？