[数学社区]高等代数中两个很好很强大的定理

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任一复方阵A，必可分解为酉阵U与对角元非负的上三角阵T的乘积：A=UT


推论：如果A非奇异，后面的“非负”可以改为“恒正”；如果A是实阵，后面的“酉阵”
可以改为“正交阵”。


我的理解：就是在说，从N维线性空间里任取N个向量，一定可以被这个空间的N个标准正
交基线性展开。复空间的N个标准正交基组成酉阵，实空间的N个标准正交基就组成正交
阵。如果要被展开的N个向量线性相关，也就是A奇异，那么线性展开它们时至少有一个
基向量就可以偷偷懒，对角元可能出现零；如果它们线性无关，那么所有的基向量就都
得上场，对角元如果有负数，就让相应的基向量转个向（乘以负一），那么相应的对角
元也就转负为正（乘以负一）。



Schur引理：任一复方阵X必酉相似一个上三角阵T：X=U(H)TU。（U(H)是U的转置共轭。）


推论：如果X是厄米矩阵，那么T是对角阵；如果X实对称阵，那么T就是实对角阵。
      如果X是实方阵，且特征值全是实数，那么T依然是实对角阵。

我的理解：如果T是对角阵，那么对角元就是X的特征值。这个引理很基础，可以引出不少
推论，很多数学证明中都要用到它。物理像网，数学像树。这个引理即使不是高代中的树
根，至少也是大的树干。
 在对它的理解也仅限于数学角度。

[此贴子已经被作者于2008-6-10 11:12:09编辑过]

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关键词：高等代数 很强大 schur 线性相关 特征值 数学 定理 社区 高等代数

Kakutani固定点定理不会没听过吧，NASH均衡就是在这个前提下推导的，泛函和拓扑里面都有介绍。

我说的是“曾经”，现在我当然知道啦

尽量不要重复发帖：

https://bbs.pinggu.org/dispbbs.asp?BoardID=52&replyID=133401&id=313747&skin=0

“康托集：开始听说这一概念让我实在无法接受，将[0，1]平分成三段，去掉中间那一段[1/3,2/3],然后对剩下的那两段再如法炮制去掉中间1/3， 如此延续直至无穷可以得到最密集的点集（这个集合全由孤立的点组成没有任何线段），而且这个孤立点集是不可数无限却又是测度零。”

关键在于去掉的是(1/3,2/3)而不是[1/3,2/3]。

难得的一次讨论啊～！

第一个定理也就是数值分析的QR方法，U矩阵通过Household正交变换得到，实质上就是保持特征值不变的坐标变换
LZ可以参考数值计算的书
这方面已经很成熟了