计算的极限（四）~(七) [转]

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计算的极限（四）~(七)

计算的极限（四）：机械计算的圭臬

殊途同归

大洋彼岸寄来的论文，对于图灵来说，并不是什么好消息。在看到丘奇的论文后，图灵有过何等反应，至今恐怕已不可考。面对着一位在数理逻辑方面已然小有名气的职业数学家，与自己一起独立发现了相同的突破性结果。往好处想，这说明图灵自己的水平已经达到了当时数理逻辑研究的前沿；往坏处想，重复了别人的结果，哪怕是独立发现的，似乎都有些不对味儿。

然而，在下定论之前，图灵还有一件事情要搞清楚。他和丘奇对“可计算性”的定义，分别建筑在图灵机与λ演算之上。那么，在不同的基础上定义的两种“可计算性”，是貌合神离还是本为一体？

图灵机与λ演算，两者似乎都在平平无奇中暗藏玄机。作为计算模型，它们有很多相似之处，比如自我指涉的能力。但它们看起来又是如此不同，图灵机是一台在工程上能建造的机器，而λ演算则是一个彻头彻尾的数学模型。看起来，要回答这个问题，并非易事。

图灵知道，丘奇也知道，他们已经踏入了一个新领域。昔日希尔伯特在他的二十三个问题中，一语带过的那个“机械化的运算”，即将被赋予精确的数学含义。但正因如此，踏出的第一步必须慎之又慎，尤其对于“可计算性”这个最基础的定义，必须做到毫不含糊。为此，为了消除模棱两可之处，图灵机与λ演算是否能力相当，这是个必须回答的问题。

知己知彼，百战不殆。为了解答这个问题，图灵开始钻研λ演算，试图弄清到底λ演算能计算什么。终于，他证明了，所有λ演算能计算的函数，他的图灵机也能计算，反之亦然。也就是说，λ演算与图灵机的计算能力是等价的，两种模型定义的“可计算性”实际上殊途同归。他将这个结果作为附录补充到了他的论文。

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关键词：数理逻辑 殊途同归 数学模型 计算模型 希尔伯特 极限

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对于图灵来说，这既是个坏消息，也是个好消息。坏消息是，他的结果与丘奇的重复了，对于发表文章来说，这不是什么好事情。好消息是，他的结果与丘奇的重复了，但他对可计算性的定义与丘奇的截然不同，而且两种看似毫无关系的定义，在实质上是相同的，这说明，他们对可计算性的定义，这最初的一步踏出的方向是正确的。一个人提出的定义很可能忽视某个方面，但现在两个截然不同的定义引向相同的结果，在交叉印证下，几无出错之虞。
可以说，图灵的工作面世之日，正是可计算性理论呱呱坠地之时。
也难怪纽曼教授一开始不相信图灵的工作。仅仅二十出头，刚刚踏入科学界的年轻人，就解决了如此重要的问题，而且为一个全新的领域立下了奠基石，这种人，即使在剑桥这个英国顶尖学府，也可谓难得一见。倒不如说，一开始不相信，这才是正常的反应。
但即便不相信，数学证明就是证明。即使纽曼教授并不专精于数理逻辑，还是能看出图灵论文的过人之处。他决定为图灵争取发表的机会。
这并非易事。因为从结论上说，图灵重复了丘奇的结果，所以最初联系的几个期刊的编辑都婉拒了纽曼的要求：他们只看到了论文的结论，没看到论文的精髓。最后，纽曼找到了当时伦敦皇家学会学报的编辑，经过三催四劝，终于说服编辑发表图灵的文章。
《论可计算数，及其在可判定性问题上的应用》，图灵的这篇文章，后来被认为是伦敦皇家学会学报发表过的最重要的文章之一。

万变之宗
乘着远洋货轮，图灵的论文很快传到了大洋彼岸，在普林斯顿掀起了一阵旋风。
在普林斯顿高等研究院的哥德尔，与丘奇有过不少碰面的机会。他读过丘奇的论文，大概也听过丘奇本人介绍他的λ演算。但哥德尔对λ演算一直颇有微词。实际上，作为一种计算模型，λ演算从未得到他的认可。它与人们日常接触到的“计算”毫无相似之处，更像是符号的堆砌和推演。虽然其中的计算的确可以机械性地完成，但要证明这一点绝非易事。事实上，这是一个远非显然的定理，证明也相当复杂。总而言之，λ演算并不像机械的计算，更像智慧的推理。
实际上，哥德尔自己也有一套“机械计算”的模型，那正是他在证明哥德尔不完备性定理时发展出来的递归函数体系。这套体系将“机械计算”定义为递归函数能计算的内容，而递归函数，顾名思义，就是可以用某些递归方式定义的整数函数。但哥德尔对他自己的模型同样不满意，原因同样是他的模型似乎需要太多的聪明才智，不像一台机器。
但图灵的论文瞬间就令哥德尔为之折服。
任何人，只要看一眼图灵机的定义，都会认同图灵机的计算完全是机械演算，完全可以造出一台可以运作的实际的图灵机。而更重要的是，图灵机抓住了“机械计算”的神韵。
机械计算是什么？是机器可以做出的计算。但机器可以千奇百怪，要用三言两语抓住本质，似乎不太可能。那么，何不反其道而行之？与其想像这些机器共有的特性，不如寻找它们共有的限制。
这正是图灵在论文中的做法。他总结了以下几个机器计算的限制：
第一：一台机器只有有限个可以分辨的状态；一台机器能分辨的表示数据的符号只有有限种。
开关或开或合，电路或通或断，中间的变化是跳跃式的。即使是连续的电信号，由于不可避免的热噪声影响，通过测量能分辨出的状态同样只有有限个。虽然现代的计算机看似有无限可能，但这只是幻觉。CPU和内存中的电路，数量虽然庞大无比，但总归是有限的，它们的通断形成的不同状态亦是如此。同理，虽然符号、信号在细节上可以有无数种变化，但由于精度等问题，即使是人，也无法事无巨细将所有细节一一分辨出来，更何况机器。

第二：机器的每一步操作需要的时间有一个下限，而每次操作最多只能读入与改写外部有限个符号。在某次操作读写某处的符号后，下一步机器读写的符号与之前符号的距离应该是有界的。
由于物理的限制，不存在速度无限的物体。无论任何机器，都不能在有限的时间内作出无限次操作，当然也不可能有无限次读入与改写。同样，读写头移动的速度是有限的，所以两次操作读写符号的距离当然也有限制。
第三：在某步操作中，机器的行动完全取决于它当时的内部状态以及读取到的符号。
机器就是机器，它应该做的，就是按照预先规划的图纸一步一步执行。没有异想天开，没有灵光一现，只有照章办事，只有步步为营。

这几个限制看起来相当合理，甚至显得理所当然。但就从如此平平无奇的限制出发，图灵用缜密的逻辑说明了，一台服从这些限制的机器能计算的问题，必定可以用一台特定的图灵机解决。也就是说，任何一台服从这些限制的机器，无论设计如何精巧，构成如何复杂，它的计算能力都不可能超越图灵机，无一例外。
我们甚至可以说，图灵机的设计本身，正是这些限制的一种体现。图灵很可能一开始就意识到了这些限制，再由此出发，去定义他的图灵机。哥德尔之所以对图灵机击节叹赏，大概也正因蕴含在它定义中的，图灵对“机械计算”的深刻洞察。相比之下，虽然与之等价的λ演算也尚算精致，但对于“机械计算”只得其形未得其神，显然逊色不少。
现在，希尔伯特在他的问题中那模糊的“机械计算”，终于有了一个精确的定义：机械计算，就是图灵机能做的计算。这又被称为图灵-丘奇论题，正是可计算性理论的奠基石。
除了λ演算与递归函数以外，还有许多计算系统与图灵机等价。波斯特对应问题，计数器机，马尔可夫算法，甚至元胞自动机，这些计算模型都与图灵机等价。但以我们的后见之明来看，图灵机仍然是机械计算最自然最有用的模型之一。

也正因这篇论文，图灵得到了到普林斯顿读博深造的机会，在丘奇的指导下，得以继续探索可计算性的无限可能。在大洋彼岸等待图灵的，又是可计算性理论的一篇新章。

计算的极限（五）：有限的障壁
难料的世事
美国普林斯顿大学，1936年9月底。
离乡别井，总是一种冒险。即使是一衣带水的英国与美国，文化与传统上的微妙差异，不知制造了多少惶惑。而图灵这时来到普林斯顿，可以说是双重冒险。他刚申请了普林斯顿的奖学金，但却受不了漫长的等待：精英荟萃的普林斯顿实在太诱人了。虽然图灵当时已是剑桥国王学院的研究员，每年有一笔比上不足比下有余的薪金，但人在他乡，经济上需要更多余裕。多申请一笔普林斯顿的奖学金，自然也合乎常理。

（普利斯顿大学当年数学系所在的范氏大楼，图片来自http://web.math.princeton.edu/conference/frggeometry2011/）
但图灵没有拿到这笔奖学金。
在现在看来，这是件不可思议的事：即使是可计算性理论的奠基人，在这笔奖学金上竟然都得不到普林斯顿的青睐。但从当时的情况来看，图灵的遭遇又很合情合理。当时他只是一名小研究员，在学术上名气不大，论文也不多。即使关于图灵机的论文是可计算性理论的奠基石，但脱胎于逻辑的这个领域仍需时间洗练。没有人能参透未来，所以普林斯顿只能从现实角度考虑，而这个考虑的结果，就是拒绝图灵的申请。
但即使没有奖学金，普林斯顿对图灵来说，依然有着相当的吸引力。当时普林斯顿大学数学系与高等研究院共用一幢大楼，可谓人才济济。单在数理逻辑，丘奇自不用提，丘奇的学生克林（Kleene）和罗瑟（Rosser）也是一等一的好手，就连前文反复提到的哥德尔，在一年前访问过普林斯顿，而且计划再次访问。当时在普林斯顿的学者常常开这样的玩笑：如果希望瞻仰数学界的某位领头羊，只要呆在普林斯顿就好，他们总会过来的。人才与人才是相互吸引的，图灵选择冒险，自然有他的理由。
可惜人算不如天算。克林与罗瑟刚刚拿到博士学位，在外校取得了一席教职，已经离开了普林斯顿。哥德尔下一次访问要等到1939年。当时普林斯顿在可计算性理论上能拿得出手的，大概就只有丘奇。丘奇的λ演算在日后同样枝繁叶茂，但那将是本系列的另一个故事。

然而，丘奇的研究方式与图灵格格不入，他追求一切概念的严谨与形式化，甚至到达了难以容忍任何模糊描述的地步。从丘奇和图灵各自提出的可计算性的模型，也能看出二人研究风格的差异。丘奇的λ演算从模型本身的描述开始就充满了一种严谨精确、不可更改的气度，如同数学王国中又一块晶莹璀璨的宝石，可望而不可即；而图灵的图灵机则更为灵动直观，似乎在机械工房中就能找到它的身影，每个人都能明白它的原理。
可以想象这两种迥异的研究风格相遇时必然产生的矛盾。当年二人如何合作研究，在今天剩下的文件中只能窥见一鳞半爪，细节已然遗失于历史的尘埃之中。但从图灵的信件可以推测，他们一开始的合作并不顺利。尽管丘奇为人友善，尽管图灵勤勤恳恳，尽管二人都可以说是数理逻辑领域中的佼佼者，但他们首次合作并没有产生什么成果。当然，数学研究就是这样，失败才是正常情况，甚至可以说，数学研究就是在不断的失败上前进的。
幸而，图灵在数学上的兴趣不仅限于数理逻辑。从冯•诺依曼听来的一个有关群论的问题引起了图灵的兴趣，他很快就解决了这个问题，令冯•诺依曼对他大加青眼。也幸亏有了这个群论问题，图灵在普林斯顿的第一年不算颗粒无收。
但图灵最希望做的，还是有关数理逻辑的问题，他希望继续留在普林斯顿，跟随丘奇继续研究，虽然剑桥也有着强烈的吸引力。在再三的劝说后，他又申请了第二年的奖学金。这次，因为有冯•诺依曼的保荐，结果毫无悬念。
值得玩味的是，冯•诺依曼的信中只字未提图灵在数理逻辑方面的成就。但以后见之明看来，图灵在可计算性理论上的工作，远远比他在群论上的工作意义重大而深远。此中对比，意味深长。然而我们不能说奖学金的管理者做错了什么，只能说他们错失了一段佳话。
图灵在普林斯顿的生活踏入第二年。作为博士导师的丘奇，向图灵提出了一个新的题目：探求超越哥德尔不完备性定理的方法。
图灵再次抓住了这个机遇。
一致的扩充
哥德尔的不完备性定理（参见希尔伯特之梦，以及梦的破灭以及计算的极限（零）），其实描述的就是数学本身的界限。在此之前，数学家认为真理必可达到，而希尔伯特的那句“我们必须知道，我们必将知道”，正是这项信念奏出的最强音。但哥德尔打破了这种幻想，他证明了，对于强得足以包含算术而又不自相矛盾的数学系统而言，“真”与“可证明”是两个彻底不同的概念。在这些系统中，存在着无法证明的真理。

哥德尔的不完备性定理有两条。

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第一，一个“合适的”包含了算术系统的数学系统不可能同时是一致和完备的，也就是说，如果它没有自相矛盾，那么必定存在这样的命题，它们是真的，但无法证明。
第二，在这样的系统中，我们可以将“系统本身没有自相矛盾”表述为系统中的一个命题，而这个命题正是一个无法被证明的真命题。假设我们有一个包含算术系统，但又没有自相矛盾的数学系统T  ，我们将表达“T  没有自相矛盾”的命题记作Cons(T)  ，那么，哥德尔的第二不完备性定理说的就是Con(T)  在T  中无法被证明。
你可能会有这样的疑问：如果把Cons(T)  当作一条公理加进T  中，那么得到的新系统不就能证明T  没有自相矛盾了吗？这是否与哥德尔的定理矛盾？
但如果将Cons(T)  作为新的公理，我们研究的公理系统就不再是T  ，而是另一个系统T 1 =T∪{Cons(T)}  。虽然在新的系统T 1   中的确能证明Cons(T)  ，但它只表达了原有系统T  没有自相矛盾，而对于新系统T 1   ，它不能表达这一点。结合了新的公理之后，表达系统本身没有自相矛盾的命题同样会产生变化。这就像一场猫捉老鼠的游戏，我们自以为封死了一切退路，把猎物逼进了墙角，但事实却是按下葫芦浮起瓢，在我们不知道的地方又出现了新的漏洞，狡猾的猎物得以全身而退。


值得一提的是，这种对公理系统的扩充方法有其独特之处：虽然新的系统比原来多了一条公理，阐述了原有体系的一致性，的确使公理系统变得更强大，但在某种意义上，这又是最保守的扩充方法。它仅仅假定了原有系统的一致性，看似没有引入什么新的知识，而得出的新系统的一致性也与原来的系统相同：如果原有系统是一致无矛盾的，阐述这一点的新公理自然不会引发矛盾；而如果原有系统本身就存在矛盾，那么它能证明一切命题，无论是真是假，那么加入新的公理也不会改变这一点。
这可能不是最有趣的扩充方法，但却是最稳妥的。如果随便添加公理，我们得到的更有可能得到的是一个自相矛盾的无用系统。与其矛盾，不如稳健。

但要用这种方法在系统内部证明自身的一致性，实际上并不可行。的确，我们可以多次重复添加公理的过程，得到从T_1、T_2开始的一系列理论系统，但它们的一致性是相同的，都依赖于起始的数学系统T，而且这一点是可以证明的。既然在起始的系统中不能证明自身的一致性，那么之后的一系列系统，无论重复多少次，都不可能证明自身的一致性。
那么，如果我们重复无限次，添加无限条公理呢？这样的话，无论使用了多少条公理，总有比它们更大的一条公理将会断言前面公理的一致性，一环扣一环，直至无穷，整个系统岂不是无懈可击？
系统的证明
从某个理论T 0 =T  开始，逐次添加关于新理论一致性的公理Cons(T i )  ，不断得到T 1 =T 0 +Cons(T 0 ),T 2 =T 1 +Cons(T 1 ),T 3 ,…  ，一直到最后包含无穷条公理的T ∞   ，其中每一条公理都有更大的公理来断言它的一致性。似乎我们就得到了一个超越哥德尔不完备性定理的数学系统。
但事情当然不会那么顺利。
首先，在包含无穷条公理的数学系统中，如何在系统内部谈论它的一致性，这并非顺理成章。的确，从理论上来说，包含任意的无穷条公理的数学系统是存在的。但如果要在这种系统内思考，很快就会遇到困境。先不说在系统中进行推理，就算是阅读一个证明，也并非显然。要理解这一点，需要对“形式证明”有更具体的理解。

一个数学系统内的形式证明，实际上是一串有限的命题组合，其中的命题要么是系统内的公理，要么是此前命题明白无误的简单逻辑推论，而最后出现的命题就是这个形式证明要得出的结论，也就是要证明的定理。这种一环套一环的组合方式，恰好保证了最后结论的正确性。而我们在阅读一个形式证明时，也只需要顺次检查这些命题，看看每一个命题是否本身就是公理或者此前命题的推论，就能验证这个证明的正确性。
而如果要在系统内部用命题表达系统本身的一致性，就要用到哥德尔在证明他的不完备性定理时用到的技术。简单来说，我们需要“阅读证明”的这个过程能够完全机械化，即使将人脑换成图灵机，也可以完成类似的验证。但如果数学系统本身包含无穷条公理的话，这个机械的阅读过程可能甚至连第一步都无法开始：如果有无穷条公理，那么面对一个命题，又如何知道它是否一个公理呢？
打个比方，数学系统好比是座仓库，里边装的都是公理。现在有人给我们一件东西，比如说一本书，我们的任务则是查看仓库里是否有一模一样的存货。如果仓库里只有有限样东西，一个个清点总能完成任务；但如果仓库容纳了无数物件，即使仓库的确有相应的存货，如果清点的次序不当，也有可能永远也碰不上我们的目标。

同样，要判断某个命题是否给定的数学系统中的公理，如果公理只有有限条，那么一个一个比较，总能在有限时间内判断出来。但对于无穷条公理的情况，这种方法有着严重的缺陷。如果检查的命题的确是公理，那么有朝一日总会停止；但反过来，如果我们检查了很久，仍然没有找到它是公理的证据的话，因为我们没有清点公理的一般方法，所以同样无法断言是否有遗漏。
所以一般而言，在一个包含无穷条公理的数学系统中，我们甚至无法在有限时间内机械地判断一个证明是否正确。尽管形式上仍然可以对形式证明进行定义，但我们几乎无法有效地考察这样的定义。同样，在这类系统中，有关形式证明的概念，尤其是系统本身的一致性，也如同处于矛盾中的说谎者，根本无法被表达。在这些系统中，难以谈及有关证明论的问题。

然而，在数学家们平常使用的数学系统中，不乏包含无穷条公理的例子。其中包括策梅洛-弗兰克公理系统，它被认为是现代数学的公认基础；还有皮亚诺算术的一阶逻辑版本，这个版本在数理逻辑的研究中经常出现。虽然这些系统同样包含无穷条公理，但数学家们在使用这些系统进行证明时没有一丝的踌躇，似乎其中形式证明的意义理所当然，与我们之前的结论背道而驰，这又是为什么呢？
答案很简单：这些数学系统拥有特殊的性质，虽然包括无穷条公理，却能在有限的时间内判断某个命题是否其中的公理。在数理逻辑中，这些系统被称为可有效生成的公理系统。
“可有效生成的公理系统”，顾名思义，这种系统里的公理都是可以“有效生成”的，也就是说，存在一台图灵机，可以“生成”所有的公理，将它们一一打印到纸带上，而打印出来的命题则必定是系统中的公理。可以说，这样的公理系统可以约化为一台图灵机。
回到仓库的比喻的话，一个可有效生成的数学系统同样是公理的仓库，但其中有着某种规律。比如一个包揽全世界所有书的仓库（它的别名叫图书馆），要判断某样物品是否有存货就太简单了：只要是书，那就有存货；如果不是书，那就没有。无需费力找到具体的对应，但同样可以确定仓库中是否存在相同的存货。

如果一个数学系统是可有效生成的，那么可以构造一个图灵机来判断某个证明是否正确。它能仅仅承认那些系统内正确的证明，对于错误的证明则一律拒绝。那么，即使有无穷条公理，我们仍然能通过这台图灵机考察关于形式证明的性质，从而可以谈论所有有关证明论的问题，包括我们关心的系统一致性。
而我们希望讨论的扩充系统，也就是通过无穷次扩充得到的数学系统，的确是一个可有效生成的系统。所以，我们对它一致性的讨论是有意义的。
对于读者来说，可能会感觉这些围绕着无穷条公理的讨论仅仅是一种吹毛求疵。但对于数学，特别是数理逻辑而言，精确性无比重要。在日常生活中，我们使用的语言太模糊太杂乱，人们的本意常常迷失在语言当中，有时连人本身都不理解口中的言说。但在数理逻辑中，一切含糊都被符号明晰，没有歧义，没有矛盾，对就是对，错就是错。这种确定性，正是数学真理性的所在。