[求助]跪求尼科尔森微观经济理论的基本原理与拓展一道习题详细解法

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题目如下:

一种证明无差异的曲线的凸性的方法是,对于特定无差异曲线U=k上的任何两点(X1,Y1)和(X2,Y2),两点的重点((X1+X2)/2,(Y1+Y2)/2)相应的效用至少与k一样大.利用此方法来讨论如下的效用函数的无差异曲线的凸性.务必图示你的结论.

1.U(x,y)=Min(x,y)

2.U(x,y)=Max(x,y)

3.U(x,y)=x+y

[em01][em01]请各位师兄师姐帮忙....

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关键词：微观经济理论 微观经济 基本原理 尼科尔森 经济理论 习题 理论 微观经济 解法 尼科尔

1,u(x,y)=x=y,是互补品，相当于很多的直角。你可以证明在那个直角的无差异线上，任何两点的连线构成了该直角的斜边，该斜边上的中点所代表的效用可定高于位于直角的那个点，因为它比那个直角点的点距离原点远一些，而直角点的那个点代表的效用与那个直角线的任何一点的效用相同。因此两点连线的中点的效用就高于端点及其所在线的效用。

2，该效用函数是替代品，因为那个大，就选择那个。替代比例为1。

是一条直线，向右下方倾斜。该直线上任何两点的连线都在该直线上，因此该直线任何两点的连线的中点也在该直线上。即二者的效用是相等的。

3，与第二题是一样的。二者的效用函数本质就是一个，只是表达式不同。

U(x,y)=Max(x,y)的替代比例是1?!??不对吧....

能够用数学方法帮忙证明出来不?!!

[em01][em01]

[此贴子已经被作者于2009-4-15 8:25:03编辑过]

以互补品为例，设原来的效用为U=X0=Y0.在X=X0这个直线上任意取一点(X0,Y1)，Y1>Y0.同理在Y=Y0上取一点(X1,Y0),X1>X0.那么两个点的连线的中点为[（X0+X1)/2,(Y0+Y1)/2]，因为X1>X0，所以（X0+X1)/2大于X0=U0，即中点的效用大于原来的效用。

对于替代品，X+Y=U0。那么(X0+0)/2+(Y0+0)/2=U0.X0 Y0 是两个在轴线上的点。(X0+0)/2和（Y0+0)/2分别是两个端点连线的中点，也就是该直线的中点。所以中点的连线上的效用至少和原来的效用一样好。

或任意取两个点（X1,Y1)以及（X2,Y2),因为X1+Y1=U0=X2+Y2,所以(X1+X2)/2+(Y1+Y2)/2=2U0/2=U0.

可是在U(x,y)=Max(x,y)中,是(X1+X2)/2+(Y1+Y2)/2<U0,而在U(x,y)=Min(x,y)中,是(X1+X2)/2+(Y1+Y2)/2>U0...

弄错了，在X+Y=U0的一条直线上，X1+Y1=U0,X2+Y2=U0.因为两个点就是直线上的点。两个方程相加，再除以2.就是中点。

在互补的那个效用上，在同样的无差异线上的任何X点等于所有的点的效用，在任何Y点的效用都是相等的。即X1=X2=Y1=Y1=U0.

X1=X2=Y1=Y2=U0,那么即使X2大于X1，Y2大于Y1,那么U1=Y2=X2,因为效用取决与最小的那个，就是那个大一点产品其效用也等于小的那个，这样(X2+0)/2+(0+Y2)/2=U2,大于X1=Y1=U1,即中点的效用大于原来的效用。因为X1代表的效用和X2代表的效用是一样的，条件是如果Y1不变的话.但是二者同时增加后再连线，连线后取中点，这个中点就是(X2+0)/2+(0+Y2)/2=U2。

1.U(x,y)=Min(x,y)

由min(X1,Y1)=min(X2,Y2)=k     那么可知min（X1,Y1，X2,Y2）=k

则X1,Y1，X2,Y2>=k故(X1+X2)/2,(Y1+Y2)/2>=k 即min（(X1+X2)/2,(Y1+Y2)/2）>=k

U=k上的任何两点(X1,Y1)和(X2,Y2),两点的重点((X1+X2)/2,(Y1+Y2)/2)相应效用函数值U((X1+X2)/2,(Y1+Y2)/2)>=k

2.U(x,y)=Max(x,y)

这个画图即可以知道，无差异曲线不是凸向原点的

第三个很好讨论，这里就不啰嗦了