[求助]关于等价鞅测度的问题

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请教一下，等价鞅测度这种方法在为金融衍生品定价上有什么优势呢？它的价值主要体现在哪里？它与BS模型有什么联系呢？谢谢

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关键词：金融衍生品 衍生品定价 金融衍生 衍生品 价值 衍生品 模型

资产的未来收益是有风险的，风险的实际测度是P测度。在对资产定价的时候要进行折现，如果用P测度折现，折现利率就要用含风险的利率，通常高于r,因为假设人们是风险规避型的。但这个含风险的利率不好测量，可以用一个等价的测度——Q测度来代替。如果用Q测度，折现的利率就直接是r，很方便。B-S模型就是以这种等效鞅测度方法来定价的。

等价鞅测度只是一个数学工具，是一个人工创造出来数学对象。在一定得技术假设下，我们对期权的定价可以转化为求折现payoff在这个测度下的期望。不过我看不出来这个和风险有什么直接关系。
另外BS模型的一个推导就是用这个。
call 的 bs 公式可以分解成两个部分，就是那个 StN(d1)-Kexp(-r(T-t))N(d2), 其实就是 E[exp(-r(T-t))(ST-K)+|info at t]这个条件期望分解出来的。
而更加普适的BS 偏微分方程可以利用 期权价格的鞅性质和 Feyman-kac定理 推出。
详见 Martingale metods in financial modelling, page 83-114.

那是不是可以理解为等价鞅测度能够说明为什么BS公式中不含有标的股票的预期收益和投资者的风险偏好，因为在金融市场均衡中，每种股票在等价鞅测度下的预期收益率正好是无风险收益率。等价鞅测度只是推导支持BS模型的一种数学方法?

以下是引用moggietotoro在2009-5-11 10:16:00的发言：
那是不是可以理解为等价鞅测度能够说明为什么BS公式中不含有标的股票的预期收益和投资者的风险偏好，因为在金融市场均衡中，每种股票在等价鞅测度下的预期收益率正好是无风险收益率。等价鞅测度只是推导支持BS模型的一种数学方法?

等价鞅测度不能说明为什么BS中不含有预期收益和风险偏好的。如果市场是不完备的，期权定价公式很可能会出现预期收益和风险偏好。不出现预期收益和风险偏好的原因只能是完全动态复制。

等价鞅测度只是一个价格评价体系。可以这样理解：如果市场上所有资产都可以定价，等价鞅测度只是将这些在现有测度下按价格高低排排站好的资产进行一个平移，从而建立一个新的价格评价体系，在这个体系下，他们排排站的顺序不变。

平移的方法的方法各种各样，最重要的是我们要选取一个严格正的资产最为基准。如果你选择货币市场帐户，或者说是default-free bond作为基准，每种股票在等价鞅测度下的预期收益率正好是无风险收益率。

其他的基准就不符合了。若选取某个股票作为基准，那么每种股票在以给定股票为基准建立的等价鞅测度下的预期收益率应该是该股票的预期收益率，而不是无风险资产的收益率

[此贴子已经被作者于2009-5-11 13:25:12编辑过]

Fama1970年提出的有效市场假说（Efficient markets hypothesis）认为，在一定条件下，证券的当前价值应该等于其未来价值的数学期望，也就是说如果由于金融市场的充分发展，使得它对证券价格的调整效率非常高，那么证券的市场价格已经充分反映了证券的真实价值，即使它的未来价格还会有一定的随机波动，但这种波动并不是一种价格趋势，其平均值还是与当前价格一样。但随着理论的发展，人们认识到，基本证券的价格应经不再具有“未来价值的均值等于其当前价值”的“鞅性质”。        Black，Scholes于1973 年成功地给出了欧式期权（European option）的解析定价公式，这就激发了在理论和实际工作中大量运用这种方法的热情。尽管随机分析是他们最重要的技术手段和理论外观，但是合成不包含任何风险因素的投资组合和“一物一价法则”恰恰正是他们（经济学）思想的精华所在。这是非常有启发的，它导致了对于所谓金融基本原理——无套利（no arbitrage）原则的重新认识。遵循这条思路，Cox于1976年开创了基于无套利的风险中性（risk neutral）定价方法。紧接着，随着Harrison、Paliska在1979和Kreps在1981杰出论文的发表，进一步研究的基调被设定了：只要市场是完全的，即市场中不存在套利机会(No Arbitrage Opportunity)，对基本资产的价格过程加以一定的数学上的技术性条件，那么现代金融理论的一些基本假设，就等价于存在一个与原概率测度等价的新概率测度，使得折现的基本资产价格过程在这个新测度下为鞅(或局部鞅)，这就是数理金融的所谓的资产定价第一基本定理。这里的“折现价格”是指在市场中有一种作为价格基准的无风险证券，证券的折现价格就是证券的价格比上无风险证券的价格。尤其是无风险证券本身的折现价格在任何时候，任何状态下的价格都是1，这样就有一个基准来顾及其他证券的价格，所谓证券的折现价格的“鞅性质”意味着证券折现价格的水平始终不变。这一结果不仅使得1938年由Doob建立的鞅（martingale）数学在金融分析中占据了主导地位，也向无套利一般均衡迈出了重要一步，由此发展起来的一系列方法通常称为鞅方法，在资产定价定理的支撑下，通过强大的测度变换技术（Girsanov定理），我们可以使得所有金融资产价格运动具有鞅性特征，利用该方法，金融理论中的许多问题，如投资组合的优化选择，衍生资产的定价，都可以得到相对简洁明了的表示。        在套利定价理论中，一个给定的欧式未定权益的公平价格可以表示成这个权益在等价鞅测度下的折现期望值，当基本的金融市场不完全时，由于等价鞅测度不唯一，一般来说一个给定的未定权益的无套利价格将构成一个区间(事实上这个区间的开闭与否是判定该未定权益是否可被复制的一个等价标准)。这就产生了一个如何从中选择参考价格的问题，或者等价地说如何选择等价鞅测度。有关这方面的研究已经有很多种准则，比如从均方准则出发而导出的最小鞅测度(Follmer和Schweizer)，采用的效用函数极大化中的边际替代率为零的方法(Davis, Harrison和Kreps)以及在Levy过程的框架下采用Esscher变换所确定的鞅测度(Gerber和Shiu)。另外一种方法是通过适当选择新的计价单位从而使得基本资产的价格过程在新的单位下是鞅，如J.Long，El Karoui等。当风险资产的回报过程是Levy或跳跃扩散过程时，Yan等对这种思想作了推广。

了解了。

hairong_cui 发表于 2009-9-25 09:00
Fama1970年提出的有效市场假说（Efficient markets hypothesis）认为，在一定条件下，证券的当前价值应该等 ...

这样把思路梳理一下清楚了

我个人比较倾向于3楼的答案，equivalent martingale只是一个数学工具。

EMM只是在self financing条件下解hedge ratio的一个中间结果