求助:关于拟凹性，凸性，凹性的问题。

17# sungmoo
无差异曲线也未必是条曲线.

20# 猫爪
先凸后凹的函数多了去了. y= - x^3

sungmoo 发表于 2009-10-6 19:34

nazam 发表于 2009-10-6 09:15 无差异曲线是凸的，说明集合{(X1,X2)|U(X1,X2)>=A}（至少保证效用水平为A的那些消费束集）是一个凸集。因此，无差异曲线是凸的，与效用函数的水平集是凸集等价，进而推出效用函数是拟凹函数。

如果偏好不满足单调性，凸无差异曲线（按你的定义）未必保证效用函数拟凹。

凸集是连通的。

任意水平无差异曲线的凸性, 足以保证效用函数是拟凹的. 两者本身互为充要条件. 你所谓的单调性对于效用函数的存在性有意义.

nazam 发表于 2009-10-7 13:20 任意水平无差异曲线的凸性, 足以保证效用函数是拟凹的. 两者本身互为充要条件. 你所谓的单调性对于效用函数的存在性有意义.

错。

（1）单调性并不是效用函数存在的必要条件。

（2）任意的无差异曲线都是凸的，并不能保证任一“上水平集”都是连通的。

nazam 发表于 2009-10-7 13:05 无差异曲线也未必是条曲线.

当然如此。

不过，我前面的说法，完全是根据你事先的说法（比如“二阶导数”之类）而说的。

nazam 发表于 2009-10-7 13:20 任意水平无差异曲线的凸性, 足以保证效用函数是拟凹的. 两者本身互为充要条件

我想看一下你的证明。

不过，这里先请你明确给出“凸无差异曲线”的定义。

如果它就是用“效用函数拟凹”来定义的，两者自然等价。

nazam 发表于 2009-10-7 13:14 先凸后凹的函数多了去了. y= - x^3

这里的关键是，当我们说“凸凹函数”时，究竟是想用定义域的一个子集来定义，还是想用（整个）定义域来定义。

sungmoo 发表于 2009-10-6 19:27

nazam 发表于 2009-10-6 19:08 数学上很少说又凸又凹，除非该函数是线性的。你所言的又凸又凹是说有时凸有时凹。有这么一种可能：一个函数在区间（1，2）上是凸的，当然也是拟凸的，在另一个区间[2，3）上是凹的（也是拟凹的），我们不能说这个函数在区间（1，3）上又拟凸又拟凹。但有可能这个函数在（1，3）上整体是拟凹的。事实上，对于单变量函数来说，只要函数单峰（先单增然后单减）它就是拟凹函数，就如微观经济学上所言的生产函数，它是拟凹的，所以就能定义等产量曲线，且该曲线是凸函数。

（1）“数学上很少说”不等于“不存在”。

（2）y=x^0.5，该函数既全局拟凹又全局拟凸。

10楼称"一个函数可以既是拟凸的，同时也是拟凹的——先边际递增后边际递减的生产函数"
本文来自: 人大经济论坛 详细出处参考：http://www.pinggu.org/bbs/viewthread.php?tid=483823&page=1&from^^uid=562010
认为分段凸凹可称为又凸又凹, 这种说法数学上以前不存在, 现在在你这里存在, 将来是否存在就不知道了.

sungmoo 发表于 2009-10-7 14:05

nazam 发表于 2009-10-7 13:20 任意水平无差异曲线的凸性, 足以保证效用函数是拟凹的. 两者本身互为充要条件

我想看一下你的证明。

不过，这里先请你明确给出“凸无差异曲线”的定义。

如果它就是用“效用函数拟凹”来定义的，两者自然等价。

版主所言的"无差异曲线凸". 大家都没有疑问, 我倒没有赋予更高深的含义. 无差异曲线是凸的, 则数学上定义所谓的上图必定是凸集, 该凸集就是效用函数的水平集. 请问我所说的凸无差异曲线还有什么别的含义?

25# sungmoo
是的, 我忘记说: 自从盘古开天地......
你再次证明: 经济学很多论断都离不开初始假设. 而离开初始假设, 理论不成其为理论了.
对于版主提问, 一般初学者应该是如下设想的:
序数效用论假设边际替代率递减, 如果二阶可导, 即无差异曲线凸性, 所谓无差异曲线凸向原点. (作为一个学数学的, 相信一般的初学者更多地采用二阶导数判断函数凸凹, 当然不可导则例外.)
版主所述问题, 本质上就是边际替代率递减与边际效用递减之间的关系而言, 至于是否有无差异无线, 是否存在效用函数, 都不是其考虑范围, 唧唧歪歪这么多, 何必当初?