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1 Regression and Projection 2 1.1 RandomSample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Observational Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 ConditionalMean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Regression Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Conditional Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Best Linear Predictor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Least Squares Estimation 11 2.1 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Model inMatrix Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Residual Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7 Asymptotic Normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.8 CovarianceMatrix Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.9 Multicollinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.10 Omitted Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.11 Irrelevant Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.12 Functions of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.13 t tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.14 Confidence Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.15 Wald Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.16 F Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.17 Problems with Tests of NonLinear Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.18 Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.19 Estimating aWage Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Regression Estimation 39 3.1 Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Bias and Variance of OLS estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Forecast Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4 Normal RegressionModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5 GLS and the Gauss-Markov Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6 Least Absolute Deviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.7 NonLinear Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.8 Testing for Omitted NonLinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.9 Model Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4 TheBootstrap 55 4.1 Definition of the Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 The Empirical Distribution Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3 Nonparametric Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4 Bootstrap Estimation of Bias and Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.5 Percentile Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.6 Percentile-t Equal-Tailed Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.7 Symmetric Percentile-t Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.8 Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.9 One-Sided Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.10 Symmetric Two-Sided Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.11 Percentile Confidence Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.12 BootstrapMethods for RegressionModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5 Generalized Method of Moments 68 5.1 Overidentified LinearModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.2 GMMEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3 Distribution of GMMEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.4 Estimation of the EfficientWeightMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.5 GMM: The General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.6 Over-Identification Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.7 Hypothesis Testing: The Distance Statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.8 ConditionalMoment Restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.9 Bootstrap GMMInference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.10 Generalized Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.10.1 Skedastic Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.10.2 Estimation of Skedastic Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.10.3 Testing for Heteroskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.10.4 FeasibleGLS Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6 Empirical Likelihood 80 6.1 Non-Parametric Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.2 Asymptotic Distribution of EL Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3 Overidentifying Restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.4 Testing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.5 Numerical Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.5.1 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.5.2 Inner Loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.5.3 Outer Loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7 Endogeneity 87 7.1 Instrumental Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.2 Reduced Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.3 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.4 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.5 Special Cases: IV and 2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.6 Bekker Asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.7 Identification Failure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8 Univariate Time Series 96 8.1 Stationarity and Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.2 Autoregressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.3 Stationarity of AR(1) Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.4 Lag Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.5 Stationarity of AR(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.6 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.7 Asymptotic Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.8 Bootstrap for Autoregressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.9 Trend Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.10 Testing for Omitted Serial Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.11 Model Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.12 Autoregressive Unit Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9 Multivariate Time Series 106 9.1 Vector Autoregressions (VARs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.3 Restricted VARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.4 Single Equation froma VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.5 Testing for Omitted Serial Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.6 Selection of Lag Length in an VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.7 Granger Causality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.8 Cointegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.9 Cointegrated VARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 10 Limited Dependent Variables 112 10.1 Binary Choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.2 Count Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.3 Censored Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.4 Sample Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 11 Panel Data 118 11.1 Individual-EffectsModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 11.2 Fixed Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 11.3 Dynamic Panel Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 12 Nonparametrics 121 12.1 Kernel Density Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 12.2 AsymptoticMSE for Kernel Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 A Mathematical Formula 126 B Matrix Algebra 128 B.1 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 B.2 MatrixMultiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 B.3 Trace, Inverse, Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 B.4 Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 B.5 Idempotent and ProjectionMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 B.6 Kronecker Products and the Vec Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 B.7 Matrix Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 C Probability 137 C.1 Foundations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 C.2 RandomVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 C.3 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 C.4 CommonDistributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 C.5 Multivariate RandomVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 C.6 Conditional Distributions and Expectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 C.7 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 C.8 Normal and Related Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 C.9 MaximumLikelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 D Asymptotic Theory 154 D.1 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 D.2 Convergence in Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 D.3 Almost Sure Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 D.4 Convergence inDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 D.5 Asymptotic Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 E Numerical Optimization 162 E.1 Grid Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 E.2 GradientMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 E.3 Derivative-FreeMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
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