请教拍卖中卖者收益的问题？

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最近在看Vijay Krishna的拍卖理论，在拍卖收益比较中遇到这样一句话：
the expected revenue of the seller is just the sum of the ex ante (prior to knowing their values) expected payments of
the bidders
就是说卖者的期望收益是不知道自己信息（即价值）情况下投标者期望支付的总和。
在对称模型下，如果有N个投标者，那么卖者的期望收益恰好是每个投标者期望支付乘以N。
为什么要乘以N呢？莫非每个投标者的期望支付包含了赢得物品的概率（因为对称所以为1/N）而类似于一个条件期望？到底这个期望支付含不含赢得物品的概率？

不知道如何去理解，请高手不吝赐教！

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关键词：Expected payments bidders knowing Krishna 收益 拍卖

满复杂的问题

现在发现这个问题应该在于支付是期望支付这个原因，但还是不知道具体怎么理解，大家帮忙思考一下，多谢了！

1# shulunaihaozhe

本人认为是含有赢得物品的概率的。
投标者的期望支付本身就是：获胜概率×profit
又因为所有的投标人都是对称的，因此卖者的期望收益恰好是每个投标者期望支付乘以N。

谢谢，我也和同学讨论过，就是确定不了期望支付含不含这个概率因素。
比如在推倒一级价格拍卖，计算这个期望支付的时候，是先求得竞标者在信息x下获得物品的条件期望m(x，然后再对m(x)求期望，得到的是每一个竞标者的期望支付。
关键对m(x)求期望是不是已经把这种1/N的因素考虑进去了，两者到底有没有关系？
这两天一直在想这个问题，因为这是一开始涉及到的内容，弄不清楚以后不好继续，希望大家帮忙讨论讨论，小弟在此拜谢了！

还有，在有底价拍卖的时候，假设底价为r，投标人的期望支付我算了一下一般是不等于r；
但是判定不了到底是大于r，还是小于r。
如果小于r那么就可以用来理解上面问题---只是可以用来理解，恐怕也不是就因此而直接乘以N那么简单；
如果大于r就更无法理解上面问题了。

5# shulunaihaozhe

问题的关键是你没搞清楚“投标人是对称的”
在对称的前提下，每个投标人获胜的概率都是相等的，即1/N
在expected payment 里面当然也就含有了1/N的概率

另外，在存在保留价问题上，如果投标人中只有一个是按保留价r投标，其他的都小于r，那么expected payment就是r；
expected payment的大小与所有投标人的bid有关，你盲目的计算当然也就比较不出expected payment与r的大小，更不用说与1/N的关系。

你的回复给我不少帮助，我再琢磨一下其中的关系，实在是谢谢你了！

这个问题不难。首先卖者收益等于买者支付的加和。假设Xi是bidder i的支付，这是一个random variable，那么卖者收益就是E(X1+X2+,...,+Xn)=E(X1)+E(X2)+,...,+E(Xn)=nE(X1) 因为对称性。没什么条件不条件的。

如果底价是r，那投标人的期望支付可能大于、等于、或小于r。
假设r=0，那当然是大于r。
如果r很大，那当然小于r。
对于最有底价r*来说，一般期望支付要小于r。