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雷达卡
之一：你知道怎么算加法吗？
此前本人在坛里有个帖子，《你知道什么叫做等于吗？》，现在本帖取名《你知道什么叫做“平均”吗？》。由于“平均”离不开“加法”，所以再配个副标题叫做《你知道怎么算加法吗？》
大家又该吐槽了。加法嘛，幼儿园的孩子都知道了呀！平均不也就是做除法嘛，一个量A除以另一个量B，A/B，A÷B，A：B，这就是平均嘛，就可以叫做是A在B上的平均嘛。
你答的也对，但你这是极低水平的回答。今天告诉你这是不严谨的，不完全的，也就是说，严格来说这是错的。这样回答，你就是不知道“加法”，更不懂“平均”。
为何严格来说这是不对的？听我慢慢给你讲。错和对，都在于你这是把A和B都默认当作了纯粹的数值了，而不是将它们视为具有应用含义的变量。
平均的概念，是用来考察事物运动变化的，但我们又知道，变化有时间上的变化、空间上的变化以及交叉的综合变化之分。所以，当你在谈论“平均”一词的时候，首先要明白你说的是那种意义的平均，给出明确的定义，因为这涉及到你如何在实证当中进行数据采样。否则，你可能是用错误的数据来进行分析计算，就会出现张冠李戴、驴唇不对马嘴、关公战秦琼的逻辑混乱现象。
平均，就是把一个总量假想均布于一个分配基（空间或维度）上。所以，被分配的量，首先是一个可以求出总量的变量，也就是说只有可以加和的量才有总量，才能进一步被平均，才有平均值一说。
根据数据处理方法和分布基的设立的不同，“平均”有算术平均，几何平均，均方根平均，调和平均，加权平均等多种。之所以有这么多种平均，是因为每一种平均算法都只能反映出事物变化的某一个方面而难以概括全貌。
“平均”是统计学的术语。所以对于搞统计分析的人来说，搞清楚平均概念非常重要。统计学属于应用数学，切莫把统计变成纯数字游戏，这样就不是在搞应用数学。
最为常见的平均是求算术平均值，但若连算数平均就没法求得，则其它平均数就更无意义了。这是由于无论是哪一种平均值，都要事先做加法。很多人有所不知，做加法是有一定规则的，可不是随便什么变量值都能用来算加法滴！
所以，我们先从加法的规则讲起。
加法规则一：同量纲同质的量才能相加。比如长度和长度相加，面积和面积相加，重量和重量相加等。
例如1M+1M=2M，10㎡+20㎡=30㎡，1碗+1碗=2碗，1kg+3kg=4kg，1天+12小时=1.5天=36小时等等。
但是你不能把长度和重量、时间和面积这种异类数据相加。因为它们具有不同的量纲。
量纲一致原则是不言自喻的。同质的事物当然可以用一致的量纲表示，但量纲相同并不表示同质性。我们说1只+1只=2只，是默认用“只”计量的东西是完全同质的，否则就不能省略，例如1只狗+1只鸡、1kg水+2kg金等是没法直接运算的。想要运算，必须先做同质化处理，1只狗+1只鸡=2只动物，1kg水+2kg金=3kg物质。
所以既要量纲一致还要是同质的。1个人+1个人=2人，1只狗+2只狗=3只狗。但一个人加一只狗大概就只能理解为一人带着一只狗了，得不出一个算数结果来。如果你看到有广告上写着1kg+200万不用急于去展示自己的数学水平，可能是你买两百万元的别墅可以赠送你1kg金条吧；300㎡+380v是什么？可能是300㎡的别墅里配有380v的三相交流电吧，仅此而已。
当然，但现实当中确实存在不用1+1=2这种数学逻辑的异质加法，或者说这类加法运用的根本就不是数学。1个男+1个女=1对男女，也不能说这没法理解，但你注意，这种写法是不能简化为1+1=1的。前者遵守的是内容上的逻辑一致，后者则违背了数学形式逻辑，两式中“=”的意义不同。
异质加法应用的不是数学是什么？是化学。化学里就有“1+2=2”这种事情，比如1O2+2H2=2H2O。
用化学语言来看“加法”，同质加法叫做“混合”，而异质加法则是“化合”。虽然都是在“加合”，但“合”法不一样。用哲学语言讲，混合是量变，化合是质变。
我这样讲，有人会说，啊，原来化学里的数学不是我们常说的数学呀？你又结论下早了！
化学方程式固然是在做异质加法，所以化学方程式就不能只写数值而抽取分子式（分子式可以看作是一种量纲符号）。但同时，化学方程式式当中又包含了同质加减法。
化学方程式当中什么同质？——原子不灭定律！基于原子的数量运算就是同质加减法，这就是化学方程式的“配平”——等式两边的原子数相等。上面的氢氧制水方程式就是(2+2)+2=(2+1)+(2+1)，就是6=6，量纲就是同质化之后的“个原子”。原子不灭也就意味着质量守恒，所以，化学方程式都是遵守质量守恒定律的，等式两边的物质质量是相等的。
化学方程式可堪称是同质加法与异质加法的完美综合。
在同质同量纲的情况下，我们不必再在每一个数量的后边写上量纲，可以偷懒地只用数字去运算了，一直等到结果出来再标注量纲于总和之后的()之中就可以了。这个方法大家都熟悉吧？
量纲一致原则让电磁物理学的公式变得非常简洁优美，这个工科尤其是物理学专业的大学生也都知道。
加法规则二：标量才可以相加，矢量不能算数相加。
中学生已知，变量有矢量和标量之分。矢量是既有方向又有大小的量，标量则是和矢量概念对应，指只有大小没有方向的量。当相加和的量是矢量的时候，使用的是另一套加法规则。
同方向的矢量，可以只用其模量对其大小做算数相加，也就是相当于看成是标量相加了。
在物理量当中，力、位移、速度、加速度、电流、热量传递等都是矢量。共线矢量的加法运用的是多边形法则而不是算数加法。长度、质量、时间、温度、内能、路程等物理量，只有大小，没有方向，在物理学中叫做标量。
所以2个人各用500kN的力向推车，不见得车子就受到了1000kN的前行推力，同向用力才可以算数加法求总，不同向用力，就是矢量加法，不是算数加法了。
但是，矢量不能算数加和，不等是说只要是标量就一定可以算数加和了。
加法规则三：只有容度性质的标量才能够相加。
变量的性质不仅有时点数(状态量)和时段数(过程量)之分，还有另一种性质分类——强度变量和容度变量。
不仅仅矢量有强度和容度之分，标量也有强度和容度之分。结合前两条加法规则综合而言就是——同质的容度性质的标量能够被加和+求总∑。
容度性质的标量如长度（面积，体积）、时间、质量、数量等。而温度，密度，压强、热(电)阻率等，虽然也是标量，但却是强度性质的标量。
强度性质的变量不能够简单地去加和之，是因为其定义和测量方法本身和量无关，加和计算之前一定要仔细辨析其结果∑的现实含义能否成立。
例如，1kg水+3kg水=4kg水，但没有1℃水+3℃水=4℃水这种加法。
例如，1L水+5L水=6L水，但是1atm的水和5atm的水加在一起并不是6atm的水。
例如，同一块均质的金属，切下来每一块不论大小，它的电阻率和热阻率都是一样的，所谓均质就是这个意思。但这种均质性是人为在某个维度上构建的，是已经人为消除了加和性，如果沿着原纬度加和起来仍然是可以的，比如把电阻沿着电流方向串联起来，就可以加和求出串联电路的总电阻。但并联电路就不能简单加和了，因为你改变了维度，不是原路返回了，电阻被放置在多个空间维度上了。
容度性质的变量之所以称之为容度性质，具有加和性，就是这里的+是将其加入到一个有容纳能力的空间里。容纳，就是加在一起的意思。
这里暗藏了两个实验条件，第一，必须是同一个有容空间；第二，“加”就是加入，不是流出，也不是穿过，也就是说默认了具有方向性的运动是同向的，从而不再考虑运动的矢量性质。
强度性质之所以不能加和，第一是因为它本身已经是消除了空间的容量性质了，已经是一个平均数了。例如密度，就是“量在空间里分布的平均密集程度”之意，已经是一个平均值了。如果是一维空间，就是线密度；还有二位空间上平均的面密度以及在三维空间里平均的体密度。无论哪一种密度概念，都不能相加。
所以，尽管空间里的容纳物是数量可加的，但已经被平均的密度性质不具有再次加和的意义。
当空间无限变小时，就是点密度的概念。点密度因为空间大小为零，零容积空间里的存在只能被看成是一个整体，如质点的概念，所以1在0上无所谓平均了。关于类似点密度这种强度性质的变化问题，另文讨论不在此赘述。
加法规则四：同一事物的同一特性量在不同时点上的取值不能够相加。
能在时点上取值的量当然就是时点数，即存量或状态量。也就是说，存量在不同时点上的取值是不能相加的。
由于人们对于事物存在的一个基本的认知是，“同一事物不可能同一时间出现在不同的空间”，所以，容度性质的变量的加法，一定是指同一空间在相同时点上的不同事物同质性量的累加。也就是说，被加和的是不同的有容之物上的同质性之量，而不是同一事物的强度性质在不同时点的取值。
只有对于不同的事物，才有“平均”可言。同一事物是指均质的系统，如果不均，则其每一个均质的局部都可以视为一个单独的个体空间。
所以，我们说10kg+60kg=70kg，是有潜台词在里面的，它的完整的显表达是“同一时点同质的10kg某物与同质60kg某物放在同一个公共（可能是假想的）空间里，这个空间里在这个时点上拥有这两种物的总质量是70kg”，仅此而已，而任何有意无意的简化表达都可能带来错误。
所以，平均之前的加法是针对容度性质的变量的，又是面对同一时空而言的。又由于时空不可分离，不在同一时点上，也意味着不是同一空间，所以同一事物某一性质在不同时间点上的取值量不能相加求总。
例如我们不能依据上式说，小王一岁时体重10kg，现在十五岁时体重60kg，所以小王十五岁时的总体重是70kg。
例如仓库里早上上班时有10件货现在下班时有20件货，但不能说仓库下班时有30件货。
例如水库的水位就没有“总水位”之说。例如没有把早晚几个温度值加起来求总温度的。
现实当中也的确有对强度变量进行加和平均运算的，但都是有潜台词条件的或者是对同一变量随时而变的不恰当表述。
例如温度是一个标量，但却是一个强度性质的标量，是不能相加的。
速度，既是矢量又是强度变量，所以速度不能加和，没有把同一时点不同物体的速度加起来求“总速度”之说。也没有把同一个物体的不同时点上速度值加起来的算法。
既然如此，平均速度的说法又从何而来？这涉及到复合变量的性质决定的问题。
我们前面说的四条规则是加法的规则，但是，“平均”是在做除法。容度变量和容度变量做加减乘法，结果还是一个容度性质的量，但是两个容度变量相除，就是一个在另一个上的平均，除法消除了容度特性，结果就成了一个强度变量。除法改变了量的性质。
所以，强度性质的量无法直接相加。对于强度性质变量的平均值计算，必须回到其原始的容度标量相加的起点上。
例如，某一物体直线移动的平均速度，我们先测量计算出容度标量路程的总值S，再测量计算出容度标量时间段的总值T，则在时长T内总共通过了S的路程，平均速度V=S/T。
当T→0时变成瞬时速度v=ds/dt。
由于速度是强度性质的矢量，所以不能再用速度值直接相加了。是路程在时长上的平均叫做平均速度，而不是速度的平均值叫做平均速度。
要考虑强度性质自身的取值情况，可以用最值、振幅、中值等概念，而不宜使用平均值的概念，这样会误导你的思路。
这方面还可以参考高数当中的“中值定理”来理解。但一些高数教材当中有把中值点的切线斜率称为全线段的平均斜率，建议更改为“中值点导数”，或“中值点斜率”，因为斜率是不可加和的强度变量，且也没有对应的“平均导数”的概念可以成立。
关于强度变量的取值分布，还可以采用“定积分”的思路进行理解，尤其是多重定积分的概念。在这方面不再细讲数学知识，仅举一实例帮助你理解。
植物学家发现，同一品种的水果的甜度与温度的关系很大。这里说的温度，是在同一个曲面的温度分布，垂直分布也都简化为温度的变化。但这种关系不是与温度的最高最低值的绝对值简单关联，也不是和最高最低值之差（温差）简单关联，而是与一个叫做“积温”的概念有关。
植物学家所谓的“积温”，是指测温点（植株种植地的平面坐标点）的“温度—时间曲线T（t）”下面的积分面积，理论上写成∫T（t）dt，t1→t2。糖度和积温表现出高度的正相关。所以就出现“橘生江南逾淮为枳”（《晏子春秋.杂下之十》）。现代农业广泛采用的温室大棚，主要的作用就是构建一个“积温”环境。
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