零次齐次，弱公理

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刚开始上高微，感觉稀里糊涂，望高人指
设x(p,w)是零次齐次的，证明：当且仅当对任意w>0及所有p,只要p.x(p',w)≤w,and x(p,w)≠x(p',w),就有p'.x(p,w)>w成立，弱公理成立。
    直接采用直接优于不就可以了，怎么用上零次齐次呢，不明白

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关键词：稀里糊涂 不明白 上高

我不是很明白你这个命题的逻辑结构，我重述一下，你看看这个是不是你要证明的命题：

假设x(p,w)零次齐次，那么 (弱公理成立) 当且仅当 (对任意w>0及所有p, p.x(p',w)≤w,and x(p,w)≠x(p',w), 可推导出 p'.x(p,w)>w)

2# twomantou
题目应该就是这个意思，总觉得用不了零次齐次

0511010145 发表于 2009-10-6 18:35
2# twomantou
题目应该就是这个意思，总觉得用不了零次齐次

恩，如果是这样的话，那么你的这个命题应该和MWG上的Proposition 2.F.1是等价的(英文版第30页)。我看了一下这个证明，确实没有用到零次齐次的地方，不知道有没有看漏什么。但是我想了一下，零次齐次的条件还是有必要的，理由如下：

你要证明的原命题是  假设x(p,w)零次齐次，那么 (弱公理成立) 当且仅当 (对任意w>0及所有p, p.x(p',w)≤w,and x(p,w)≠x(p',w), 可推导出 p'.x(p,w)>w)

简化一下，后面好写一些。把这个命题：(对任意w>0及所有p, p.x(p',w)≤w,and x(p,w)≠x(p',w), 可推导出 p'.x(p,w)>w) 称为A命题，那么原命题就是：

假设x(p,w)零次齐次，那么 弱公理成立等价于A命题成立

在你前两天的那个帖子里面我已经证明过，如果弱公理成立，那么x(p,w)是零次齐次的。那么这个命题的逆否命题也是成立的，即如果x(p,w)不是零次齐次的，那么弱公理不成立。

现在我们就可以构造反例来说明零次齐次的必要性了。假设x(p,w)不是零次齐次的，我们来构造p,w,p',w'满足A命题成立而弱公理不成立。如果我们能够找到这样一个反例，那么就可以说明零次齐次的必要性了。对于任意的p,w，寻找某个大于0不等于1的常数a，使得p'=ap,并要求p,w,p'满足A命题，即p.x(p',w)≤w,and x(p,w)≠x(p',w), 可推导出 p'.x(p,w)>w。这样的a一定是存在的，无论x(p,w)是不是零次齐次，因为零次齐次不会影响到（x(p,w)≠x(p',w))这个条件。我们构造了p,w,p'满足A命题，现在我们来说明弱公理一定不成立。

为了阅读方便，重述一遍弱公理：

p.x(p',w‘)≤w,and x(p,w)≠x(p',w‘), 可推导出 p'.x(p,w)>w’

设w'=aw。

首先。因为零次齐次不成立，我们有x(p,w)≠x(p',w')=x(ap,aw)。既然不等于的那个条件必然成立，那么弱公理就变成了：

p.x(p',w‘)≤w可推导出 p'.x(p,w)>w’

可推导出前面的部分是真命题，因为ap.x(p',w‘)≤aw 等价于 p'.x(p',w‘)≤w';
可推导出前面的部分是假命题，因 p'.x(p,w)>w' 等价于 ap.x(p,w)>aw 又等价于 p.x(p,w)>w

由此可知弱公理不成立。证毕。

后半部分的证明和我前两天那个帖子是一样的。

这里面零次齐次的关键作用是在于，如果它不成立，那么弱公理就是伪命题，你的原命题也就很容易崩溃了。我们总可以构造反例满足x(p,w)≠x(p',w')成立而x(p,w)≠x(p',w)不成立，这样就可以很容易地满足A命题成立而弱公理不成立，进而你的原命题就不成立了。

再补充一句。因为零次齐次是弱公理的推论，所以你可以注意到，当你推导

如果弱公理成立则A命题成立

的时候，你是用不上零次齐次的。但是如果你反过来推导

如果A命题成立则弱公理成立

的时候，不假定零次齐次一定推不出来。我上面的那个反例就是关于这个反着的推导的。

5# twomantou
谢谢你的认真

我也在困惑这个问题啊，高微让人好晕啊