请教偏好的四种凸性区别

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请教高手：
我在读到偏好的凸性是分不清以下几种凸性的区别，请问以下几种凸性的区别，能否用图形或例子说明一下，企盼详解，感谢！有些数学式不能显示，详情请见附件。
定义(偏好的凸性). 设消费集合 是凸集。偏好关系 称作是：
（1）弱凸的，是指对任何 及 ,若 , 则 ；
（2）凸的，是指对任何 及 ,若 , 则 ；
（3）严格凸的，是指对任何 及 , 若 且 , 则 ；
（4）内部严格凸的，是指 是凸的，并且对任何 int 及 ,若 且 ,
则 。

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关键词：请教高手 int 请教 偏好

我也想知道，2年了居然一直没回答

不懂坐等强人

一楼的哥们肯定是看了武康平的高微。。。。。

画个圈（这个圈代指无差异曲线的上等值集，这一点对于理解尤其重要，以下类同），围成的圆面满足四个凸性。以下据反例说明区别。
（1）先说严格凸，它是最严格的定义。如果画的不是圆而是多边形围成一个面积，那就是弱凸的，而且是凸的，而且还是内部凸的。但不是严格凸的。
（2）凸性和弱凸性的区别有点难理解。还是画六边形，但是用很粗很粗的线画（不满足局部非饱和性），则它是弱凸的，但不是凸的（当然也不是严格凸和内部严格凸的）。
（3）如果画的六边形面不包括其中一个边的中间一段（不满足连续性，或者说围成的面不是闭集），则这个面是凸的，但不是弱凸的（当然也不是严格凸和内部严格凸的）。更能说明问题的是字典序偏好（这个用图画不出来，偏好此时是非连续的），它是凸的，但是它不是弱凸的。
（4）如果既满足凸性又满足弱凸性（即既满足局部非饱和性又满足连续性），则它是内部严格凸的，参考（2）的例子。

四种凸性的说法，在MWG的教材里没有明确说区别，但是有界定连续性和局部非饱和性。效用函数的建立依赖于（弱）凸性、局部非饱和性和连续性三个条件同时成立，基本上就是上面界定的内部严格凸性（只是WMG的教材没有这么说）。
不过，如果不满足严格凸性而只满足内部严格凸性，会导致消费者的效用最大化解不是唯一的（而是一个集合）。高级微观用集合论以及向量代数处理问题，所以不介意这点缺憾，但是中级微观一般都是假定严格凸性的。

范里安的书上有详细解释的