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雷达卡
做研究是摸着石头过河，探索着往前走，但是文章常常是“倒着”写出来的。我们读书不是为着读书而读书，而是要通过读书和学习来提升自己的研究能力，于是文章就不能不“倒着来读”。所谓“倒着来读”，就是还原到原始的研究过程中去读。例如教科书上讲数学期望，一般只是简单地这样讲：定义∑xipi为随机变量X的期望值，用符号E(X)来表示，其中，xi是随机变量X的取值，pi是随机变量X取值xi的概率。随机变量的期望值代表了随机变量的平均值取值。这是写文章，是把原始的研究过程“倒着”来写。原始的研究过程是，在真实世界，我们可能十分关心随机变量的平均取值。如果随机变量X的所有可能取值为x1, x2, x3, …, xn，那么我们如何确定它的平均取值呢？容易想到用算术平均(∑xi)/n来刻画这个平均取值。理论上讲，不是不可以，但这不是最好的刻画。正如我们不会简单地以各种商品的价格做算术平均来确定经济的GDP平减指数，我们也不会选择用算术平均来刻画随机变量均值。因为不同商品在经济中的重要性不一样，价格指数的计算要反映出这种相对重要性才有意义，我们会选择各种商品的产量做权因子用加权平均来计算这种价格指数。这里，对于我们要研究的随机变量的平均取值问题来说，毫无疑问，随机变量取各种可能的值的概率正好反映了它们的相对重要性，于是以这些概率做权因子用加权平均(∑xipi)/(∑pi)来刻画随机变量的平均取值就是可取的。因为∑pi=1，于是这个平均取值就是数学期望定义的表达式了。数学期望的这个讲法与教科书上的表述并没有根本的不一致，但我认为数学期望的概念应该这样来讲，数学期望的概念应该这样来学。
同样的道理，我们讲方差，是不可以简单地定义E[X?E(X)]2为随机变量X的方差，说它刻画了随机变量的分散程度，然后草草了事。这是事后的讲法，表达的只是前人研究得来的结果。然而从教和学的角度来讲，更为重要的却是把前人构造这个变量的历史过程展现给学生。所以问题一定要这样来讲：我们知道了随机变量的均值，现在问，如何来刻画这个随机变量取值的分散程度呢？由于均值是随机变量取值的“重心”或者“中心”，自然，我们会想到用随机变量的可能取值与“中心”的平均距离来刻画该随机变量取值的分散程度。如果∑│xi?E(X)│pi大，则该随机变量取值的分散程度就高；如果∑│xi?E(X)│pi小，则该随机变量取值的分散程度就低。毫无疑问，这个变量很好地刻画了随机变量取值的分散程度，也是人们最容易想到的刻画随机变量取值分散程度的指标。但是，从数学的角度来讲，绝对值不容易处理，比如就不便于做四则运算。因为这一点，人们容易替代地用∑[xi?E(X)]2pi来刻画随机变量取值的分散程度，于是就有了教科书上所讲的方差的定义及其所有的含义。
教科书上讲，假设(X1, X2, …, Xn)是从总体X中随机抽取的一个样本，那么定义 =∑Xi/n为样本均值，它是总体均值的一个很好的估计量；定义 =∑(Xi? )2/(n?1)为样本方差，它是总体方差的一个很好的估计量。我告诉我的学生，除非你是神经病，疯子，否则你怎么会想到定义样本方差为∑(Xi? )2/(n?1)，然后用它来做总体方差的估计量呢？我们容易想到，用样本方差去做总体方差的估计量，我们也容易想到，定义样本方差为∑(Xi? )2/n，但是我们很难想到直接定义样本方差为∑(Xi? )2/(n?1)，然后用它去做总体方差的估计量。真实的研究过程很可能是，人们定义样本方差为∑(Xi? )2/n，然后尝试着看它到底是不是总体方差的一个好的估计量。试的结果是不够好，于是人们进行调整，调来调去，最后调出了教科书上的样本方差的定义。因为无论是∑(Xi? )2/n，还是∑(Xi? )2/(n?1)，都能很好地刻画样本取值在其均值周围的分散程度，而∑(Xi? )2/(n?1)又能更好地估计总体的方差。其实，科学研究更多的就是这种不断的探索和试错的过程。我常对我的学生讲，你们不要以为科学家就一定智商超人，其实他们更多的还是平常人。言下之意，如果我们方法对头，又具有不断探索的精神，那么我们很多人也是可以成为科学家的。我还常对我的朋友讲，我衷心地认为邓小平是人类有史以来最伟大的政治家之一，但是我不同意他老人家是改革开放的总设计师的说法。如果一定要讲设计的话，那么设计也是从小岗村的那几位农民开始的。
当年我讲数学课的时候，就努力地在事前不去演例题，而是要把自己解题的过程原始地展示给学生。这样做，虽然难免会有演不下去的时候，但我认为老师应该把自己思维的过程展示给自己的学生，包括把自己犯错误的过程展示给自己的学生，而不是把一个事先精心准备好的“完美”答案展示给学生。记得有一次上课，恰巧系里的书记来听课，有一道题我就演不下去了。课后书记关爱地对我讲：“谢作诗，你是咋回事，你不应该是这样的呀！”。我当然知道，我本来是可以不这样的。十几年过去了，今天，我的这个毛病还是没有完全改过来，只是不讲数学了，表演的机会少了，也是由于随着年龄的增大，脑子没有年轻时灵活，越来越没有信心做这样的表演了。
正是基于上述理念的缘故，我历来就不相信自己没有做过好的研究工作，却可以成为一个好的大学老师。不做原创性科学研究，难道应用性科学研究也不做吗？据说芝加哥大学的戴维德教授终其一生是不写文章的，但我不认为不写文章就是不做研究。如果教科书的每一个概念和问题我们都能这样来讲，那么怎么不能做出好的研究来？反过来，我倒是更相信，一个不能做出好的研究的人，是不可能这样来讲教科书上的各种概念和问题的。我历来坚信，一个学得通透的人是不可能把问题讲不清楚明白的。张维迎院长在光华单以学术来做教师的评价标准，我认为这是正确的。所以来说，应该怎样来带研究生呢，要让他参与到你的研究之中去，在你研究的过程中去带研究生。今天我们一些人一个人带十几个、几十个，不由人不多想，这是带研究生吗？也不由人不多想，中国的高等教育到底是怎么了？（未完待续，原文发表于《教育管理研究》2008年第2期）
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