Discrete Stochastic Processes and Optimal Filtering

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作者：Jean-Claude Bertein &
Roger Ceschi

Table of Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Chapter 1. Random Vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Definitions and general properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Spaces L1(dP) and L2(dP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2. Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. Mathematical expectation and applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2. Characteristic functions of a random vector . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4. Second order random variables and vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5. Linear independence of vectors of L2(dP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.6. Conditional expectation (concerning random vectors with
density function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.7. Exercises for Chapter 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Chapter 2. Gaussian Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1. Some reminders regarding random Gaussian vectors . . . . . . . . . . . 63
2.2. Definition and characterization of Gaussian vectors. . . . . . . . . . . . 66
2.3. Results relative to independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4. Affine transformation of a Gaussian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5. The existence of Gaussian vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6. Exercises for Chapter 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
viii Discrete Stochastic Processes and Optimal Filtering
Chapter 3. Introduction to Discrete Time Processes. . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2. WSS processes and spectral measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2.1. Spectral density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3. Spectral representation of a WSS process . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.1. Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.2. Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.2.1. Process with orthogonal increments and associated
measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.2.2. Wiener stochastic integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3.2.3. Spectral representation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.4. Introduction to digital filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5. Important example: autoregressive process . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.6. Exercises for Chapter 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Chapter 4. Estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.1. Position of the problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2. Linear estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.3. Best estimate – conditional expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.4. Example: prediction of an autoregressive process AR (1) . . . . . . . . 165
4.5. Multivariate processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.6. Exercises for Chapter 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Chapter 5. The Wiener Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.1.1. Problem position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.2. Resolution and calculation of the FIR filter . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.3. Evaluation of the least error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.4. Resolution and calculation of the IIR filter . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.5. Evaluation of least mean square error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.6. Exercises for Chapter 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Chapter 6. Adaptive Filtering: Algorithm of the Gradient and the LMS. . 197
6.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.2. Position of problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.3. Data representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.4. Minimization of the cost function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.4.1. Calculation of the cost function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.5. Gradient algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Table of Contents ix
6.6. Geometric interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.7. Stability and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.8. Estimation of gradient and LMS algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.8.1. Convergence of the algorithm of the LMS . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.9. Example of the application of the LMS algorithm. . . . . . . . . . . . . 225
6.10. Exercises for Chapter 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Chapter 7. The Kalman Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.1. Position of problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.2. Approach to estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.2.1. Scalar case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.2.2. Multivariate case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
7.3. Kalman filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.3.1. State equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.3.2. Observation equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.3.3. Innovation process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.3.4. Covariance matrix of the innovation process. . . . . . . . . . . . . . 248
7.3.5. Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.3.6. Riccati’s equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.3.7. Algorithm and summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.4. Exercises for Chapter 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Table of Symbols and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

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关键词：Stochastic Filtering Processes Discrete Stochast Processes Stochastic Discrete optimal Filtering

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