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雷达卡
脑中的风暴
几年后，希尔伯特的美梦被敲醒了：
1931年，一位25岁奥地利数学家的发现震惊了整个数学界。这位年轻人名叫哥德尔（Kurt Gödel）。他干净利落地证明了：数学不可能既是完备的又是相容的——如果问题2的答案是“是”，问题1的答案就必须是“否”。
某种意义上，正是希尔伯特间接将哥德尔引领至数理逻辑的领域。在希尔伯特退休之时，哥德尔才刚刚登上数学舞台。
年轻的哥德尔用“不完备性定理”在数学长河中拦起一幢大坝，瀑布巨流而下——现代数学的真实面貌浮出水面：
真与可证是两个概念。可证的一定为真，真的不一定可证。
悖论的阴影成为数学家挥之不去的遗憾。大数学家外尔发出感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。”
还有第三问。
很快就到了1935年，又一个夏天。英国剑桥郁郁葱葱，23岁的图灵在此读书。
这位年轻人性格内向，做人偏执，还是一名天赋异禀的马拉松跑者。他的马拉松最好成绩是2小时46分，还差点代表英国国家队参加奥运会。
某次长跑后，图灵瘫倒在草地上，大口呼吸着剑桥的空气，心跳逐渐平复，脑中却出现了一场风暴——他想到了回答希尔伯特第三问的办法。
他一跃而起，跑回宿舍，在狂热的心跳中写下了脑中的风暴。
他假想出一台“图灵机”：它可以从一条纸带上读取命令、进行操作，从而模拟任何“明确程序”。
他进一步证明人们可以设计出通用图灵机，模拟任何图灵机的运作，然后他进一步证明了即便通用图灵机也无法让所有命题可判断——我们不能用一个算法来判定一台给定的图灵机是否会停机。
图灵机的整个构造是一场思想实验。它用纸笔和头脑完成，不是一台真的机器——在图灵证明了存在通用图灵机后的十来年，第一台可编程的计算机被建造出来了。图灵机后来成为整个电子计算机的蓝图。
图灵脑中的风暴，成为一场蝴蝶效应，掀起了数学界一场更大的思想风暴：
数学是不完美的，计算是不完美的。
曾几何时，希尔伯特的追随者们认为数学无所不能，科学家们相信根据牛顿定律原则上能预测宇宙将发生的一切。不久后，量子力学和混沌摧垮了精确预测的希望，哥德尔和图灵摧垮了数学无所不能的希望。
科学家们终于意识到，还原论无法回答一切，“完美科学”并不存在：
我们永远活在一个不完美的世界里，也不存在完美的回答，人类科学体系必将在一场场晃动的泥石流中不断重建。
至此，希尔伯特的三大终极之问得到了令人失望的回答。仿若命运的诅咒，在两位年轻人发表他们的成果之后，哥德尔和图灵均迎来了人生的巨变。
当希特勒和第三帝国的阴云开始笼罩世界，哥德尔也开始受到精神问题的困扰。1940年，为了不被征入德军服兵役，他移民美国。准备美国入籍面试时，他却发现了美国宪法中的“不一致性”——他的朋友爱因斯坦在陪他去面试时只好不断同他聊天，以岔开他的注意力。
战争同样改变了图灵。
在第二次世界大战中，他加入了英国绝密的破解德军谜团密码（Enigma）计划。在图灵的领导下，秘密工作小组几乎破解了所有使用谜团密码的情报，构成二战转折点，成为战胜纳粹的重要因素。
战后，图灵的兴趣又回到他脑中的世界。他继续探索大脑和身体的计算原理，研究神经学、生理学、发育生物学，并探讨了智能计算机的可能性。
这位天才科学家继续着他纯粹意义上的头脑风暴——用思考，而不是手，去实现不完美世界中“可以自行迭代的机器”。如今的互联网、人工智能与整个计算机世界，和彼时图灵的设想高度吻合。
图灵的天真不仅在于他只对“想”有兴趣，对把机器“造出来”兴趣寡淡，还表现为：他从未试图隐瞒自己的同性恋倾向。
在20世纪50年代的英国，图灵因为与男性发生关系而被逮捕，被化学阉割，也被取消了接触政府机密的权力。1954年，他吃下一口含氰化物的苹果，告别了人世。
冥冥之中，哥德尔的结局有着和图灵神奇的对比。
20世纪60年代，哥德尔的精神状况不断恶化。在1978年去世前，他得了严重的妄想症，认为有人要毒害他——他怕被下毒，拒绝进食，最终饿死。
繁星无法超越
纵使人世颠沛流离，人类似乎天生是好奇的动物。
数千年前，古人便对星空着迷。多颗星球在太空中的运动轨迹如何？这被后世简称为“N体问题”。
牛顿便是仰望星空的人之一。
回答从两颗星星开始。1710年，数学家伯努利认为，一颗星球围绕另一颗星球运动的轨迹只能是椭圆、抛物线或者双曲线的一支，然而对这一过程的数学描述却未能突破。直到牛顿提出了惊世骇俗的“万有引力”定律，并为此发明了“微积分”，才让双体问题得到彻底解决。
在《牛顿传》中，科学作家格雷克这样描述：
“他受困于语言的混乱——有些词汇定义不清，有些词汇甚至还没有出现……牛顿相信，只要他能找到合适的词汇，他就能引领整个运动科学。”
牛顿最终创造了所需的“词汇”：无穷小、微分、积分、极限，微积分为严格描述运动提供了数学语言，让这些之前看似不可解的问题“彻底一般化”，日后恢弘的动力学体系就此开启。
“双体问题”后，牛顿将目光投射到下一步：三个星球呢？
然而，这个问题的难度却远超想象，直到两百多年后的今天，它依然是悬而未决的天文难题之一。
一定是我们还没有找到合适的词汇，牛顿想。新的数学名词和工具，也许将统一我们过去认为不可以去建模、测算和预测的东西……可这套工具是什么呢？
这个使命在牛顿的科学生涯中并未完成，法国数学家庞加莱接过了这根接力棒。
庞加莱为研究“三体问题”发展出了一整套更先进的“词汇”——微分方程。
庞加莱通过微分方程，证明了三体系统对初始条件的敏感性——这是一个不可积分的系统。他进一步发现了确定性系统内部的不确定运动，开启了一场人类对“混沌（chaos）”的哲思。
在一叠158页的手稿中，庞加莱在信封上写下题词：
“Nunquam praescriptos transibunt sidera fines（繁星无法超越）。”
天体力学，以牛顿证明行星绕日运动处于平面上的椭圆轨道为第一个巅峰；以庞加莱出版三卷本巨著《天体力学新方法》为第二个巅峰，新局面由此开启，对日后的非线性物理、动力系统理论、微分方程领域，乃至于气象学、生物学都形成巨大的冲击与促进。
苏联数学大师阿诺德在《数学科学与天体力学300年》中回顾了牛顿与庞加莱的耀眼光辉：“从惠更斯和牛顿的天才发现到黎曼和庞加莱将数学几何化，其间长达200年的时期似乎成了只不过充满了各种计算的数学沙漠。”
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